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の Pythagorean theorem provides the basis for the distance formula in Cartesian coordinates. The distance [latex]d[/latex] between two points [latex](x_1, y_1)[/latex] and [latex](x_2, y_2)[/latex] in a plane is given by [latex]d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}[/latex]. This formula is a direct application of the theorem to a right triangle whose legs are the differences in the x and y coordinates.
The Euclidean distance formula is a direct and powerful application of the Pythagorean theorem within the framework of a デカルト座標 システム。平面（または高次元空間）上の任意の 2 点間の直線距離を計算する簡単な方法を提供します。2 点 P1 が [latex](x_1, y_1)[/latex]、P2 が [latex](x_2, y_2)[/latex] の場合、式は [latex]d = sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}[/latex] です。
この公式の導出は視覚的に直感的です。2 つの点は直角三角形の頂点と見なすことができます。この三角形の水平方向の辺の長さは、x 座標の絶対差、[latex]|x_2 – x_1|[/latex] です。垂直方向の辺の長さは、y 座標の絶対差、[latex]|y_2 – y_1|[/latex] です。P1 と P2 の間の直線距離は、この三角形の斜辺です。ピタゴラスの定理 ([latex]c^2 = a^2 + b^2[/latex]) を適用すると、[latex]d^2 = (x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2[/latex] となります。両辺の平方根を取ると、距離の公式が得られます。二乗演算を行うことで、絶対値記号が不要になるという利点があります。
古代ギリシャ幾何学と、ルネ・デカルトとピエール・ド・フェルマーによって発展させられた17世紀の解析幾何学の融合から生まれたこの概念は、ほぼすべての科学技術分野の基礎となっています。これにより、幾何学的な問題を代数的な問題に変換し、体系的に解決することができます。また、この公式は3次元以上にもシームレスに一般化できます。3D空間の2点、[latex](x_1, y_1, z_1)[/latex]と[latex](x_2, y_2, z_2)[/latex]の場合、距離は[latex]d = sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 + (z_2 – z_1)^2}[/latex]です。ユークリッドノルムまたはL2ノルムとして知られるこの一般化された形式は、線形代数、コンピュータサイエンス（特に機械学習における「k近傍法」やクラスタリングアルゴリズム）、および物理学の基礎となるものです。
ユークリッド距離
（日付が不明または関連性がない場合、例えば「流体力学」などでは、その注目すべき出現時期の概算値が提示されます。）
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