ビュフォンの針の問題

数学的帰納法は、自然数 n に対して性質 P(n) が成り立つことを証明するために用いられる手法です。この手法は、基本ケースとして P(0) または P(1) が真であることを証明し、帰納ステップとして、自然数 k に対して P(k) が真である場合 (帰納法の仮説)、P(k+1) も真であることを証明します。

様々な種類の波の伝播を記述する2階線形双曲型偏微分方程式。最も単純な形式では、[latex]frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 nabla^2 u[/latex]と表され、ここで[latex]u(vec{x},t)[/latex]は波の振幅、[latex]c[/latex]は波の速度、[latex]nabla^2[/latex]はラプラス演算子である。この方程式は、弦の振動、音波、光波などの現象をモデル化する。

オイラー標数は位相不変量であり、位相空間の構造や形状を、その形状がどのように歪められても記述する数値です。多面体の場合、[latex]chi = V - E + F[/latex] という式で定義されます。ここで、V、E、F はそれぞれ頂点、辺、面の数です。球の場合、[latex]chi = 2[/latex]、トーラスの場合、[latex]chi = 0[/latex] となります。

パーセバルの定理は、信号の全エネルギー（1周期にわたるその二乗の積分）を、そのフーリエ級数成分の二乗エネルギーの和に関連付けます。周期[latex]P[/latex]の関数[latex]s(x)[/latex]の場合、定理は次のように述べます。[latex]frac{1}{P} int_P |s(x)|^2 , dx = sum_{n=-infty}^{infty} |c_n|^2[/latex]、ここで[latex]c_n[/latex]は複素フーリエ係数です。

ベイズ推論は、より多くの証拠や情報が得られるにつれて仮説の確率を更新するためにベイズの定理を使用する統計的手法です。これはベイズ統計学の中心的な原則です。その核心となる考え方は、事後確率は事前確率と尤度の積に比例するというものです。[latex]p(theta|D) propto p(D|theta)p(theta)[/latex]、ここで[latex]theta[/latex]はパラメータ、Dはデータです。

フーリエ級数は、任意の周期関数または信号を、単純な振動関数、すなわち正弦関数と余弦関数の和に分解します。周期 [latex]P[/latex] の関数 [latex]s(x)[/latex] の場合、級数は次のように与えられます。 [latex]s(x) approx frac{a_0}{2} + sum_{n=1}^{infty} left[ a_n cosleft(frac{2pi nx}{P}right) + b_n sinleft(frac{2pi nx}{P}right)right][/latex]。項 [latex]a_n[/latex] と [latex]b_n[/latex] はフーリエ係数です。

ピタゴラスの定理は、デカルト座標における距離の公式の基礎となります。平面上の2点[latex](x_1, y_1)[/latex]と[latex](x_2, y_2)[/latex]間の距離[latex]d[/latex]は、[latex]d = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}[/latex]で与えられます。この公式は、x座標とy座標の差を辺とする直角三角形に定理を直接適用したものです。

これは数学史において特筆すべき問題である。1736年にレオンハルト・オイラーがこの問題を否定的に解決したことで、グラフ理論の基礎が築かれ、トポロジーの概念が先駆けられた。この問題は、ケーニヒスベルク市の7つの橋を、一度の往復で全て渡り、出発点と同じ陸地に戻ってくることができるかどうかを問うものであった。

位相幾何学における基本定理の一つに、任意の凸多面体において、頂点数（V）、辺数（E）、面数（F）は[latex]V - E + F = 2[/latex]という関係式で表されるというものがあります。この値2は球面のオイラー標数であり、多面体の具体的な形状に依存しない、深遠な位相幾何学的性質を示しています。

ベイズの定理は、事象に関連する可能性のある条件に関する事前知識に基づいて、事象の確率を記述するものです。これは確率論と統計学における基本的な概念です。数学的には、[latex]P(A|B) = frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex]と表され、AとBは事象であり、[latex]P(B) neq 0[/latex]です。これは、2つのランダムな事象の条件付き確率と周辺確率の関係を表します。

定常状態または平衡状態にあるシステムを記述する2階線形楕円型偏微分方程式。これは、[latex]nabla^2 u = 0[/latex]または[latex]Delta u = 0[/latex]と表記され、[latex]nabla^2[/latex]（または[latex]Delta[/latex]）はラプラス演算子です。調和関数と呼ばれる解は、可能な限り滑らかな関数であり、静電気、重力、流体の流れなどの場におけるポテンシャルを表します。

過剰決定システムの解を近似するための標準的なアプローチは、観測値と予測値の二乗差の合計を最小化するモデルパラメータを見つけることです。この合計は二乗残差の合計 (SSR) として知られています。目標は、関数 [latex]S(beta) = sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T beta)^2[/latex] を最小化するパラメータ [latex]hat{beta}[/latex] を見つけることです。

熱分布やその他の拡散過程を記述する基本的な2階線形放物型偏微分方程式。その標準形は[latex]frac{partial u}{partial t} = alpha nabla^2 u[/latex]で、ここで[latex]u(vec{x},t)[/latex]は温度、[latex]t[/latex]は時間、[latex]alpha[/latex]は熱拡散率です。解は、初期温度分布がどのように変化し、時間の経過とともに不規則性が平滑化されて定常状態に近づくかをモデル化します。

周期 [latex]P[/latex] の関数 [latex]s(x)[/latex] のフーリエ級数の係数は、積分公式を用いて計算されます。直流成分は [latex]a_0 = frac{2}{P} int_{P} s(x) , dx[/latex] です。コサイン係数は [latex]a_n = frac{2}{P} int_{P} s(x) cosleft(frac{2pi nx}{P}right) , dx[/latex] であり、サイン係数は [latex]b_n = frac{2}{P} int_{P} s(x) sinleft(frac{2pi nx}{P}right) , dx[/latex] ですが、[latex]n ge 1[/latex] です。