데카르트 좌표계

정다면체는 모든 면이 같은 정다각형이며, 각 꼭짓점에서 만나는 면의 개수가 모두 같은 다섯 개의 볼록 정다면체입니다. 정다면체는 정사면체(4면), 정육면체(6면), 정팔면체(8면), 정십이면체(12면), 정이십면체(20면)로 이루어져 있습니다. 이들의 대칭성과 성질은 고대부터 연구되어 왔습니다.

√2는 무리수이므로 두 정수의 비 [latex]p/q[/latex]로 나타낼 수 없습니다. 피타고라스 학파에 자주 귀속되는 고전적인 증명은 귀류법입니다. 즉, 기약분수에서 [latex]sqrt{2} = p/q[/latex]라고 가정하면, [latex]p[/latex]와 [latex]q[/latex] 모두 짝수여야 한다는 결론에 도달하게 되어, 처음 가정과 모순됩니다.

프톨레마이오스의 정리는 삼각법의 합과 차 공식에 대한 우아한 기하학적 증명을 제공합니다. 한 변을 지름으로 하는 원에 사각형을 내접시키면, 변의 길이는 내접각의 사인과 코사인 값으로 나타낼 수 있습니다. 이 정리를 직접 적용하면 [latex]AC cdot BD = AB cdot CD + BC cdot DA[/latex]와 같은 항등식을 얻을 수 있습니다.

수학적 귀납법은 어떤 성질 [latex]P(n)[/latex]이 모든 자연수 [latex]n[/latex]에 대해 성립함을 증명하는 데 사용되는 기법입니다. 이 방법은 두 단계로 구성됩니다. 첫 번째 단계는 기본 사례로, [latex]P(0)[/latex] 또는 [latex]P(1)[/latex]이 참임을 증명하는 것입니다. 두 번째 단계는 귀납적 단계로, 어떤 자연수 [latex]k[/latex]에 대해 [latex]P(k)[/latex]이 참이면(귀납적 가설), [latex]P(k+1)[/latex]도 참임을 증명하는 것입니다.

다양한 종류의 파동 전파를 지배하는 2차 선형 쌍곡선 편미분 방정식입니다. 가장 간단한 형태로 [latex]frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 nabla^2 u[/latex]로 표현되며, 여기서 [latex]u(vec{x},t)[/latex]는 파동의 진폭, [latex]c[/latex]는 파동의 속도, [latex]nabla^2[/latex]는 라플라스 연산자입니다. 이 방정식은 진동하는 현, 음파, 광파와 같은 현상을 모델링합니다.

오일러 특성은 위상 공간의 구조나 모양을 어떻게 변형하든 변하지 않는 위상 불변량입니다. 다면체의 경우, 오일러 특성은 [latex]chi = V - E + F[/latex]라는 공식으로 정의됩니다. 여기서 V, E, F는 각각 꼭짓점, 모서리, 면의 개수입니다. 구의 경우 [latex]chi = 2[/latex]이고, 토러스의 경우 [latex]chi = 0[/latex]입니다.

직접 증명은 확립된 사실, 일반적으로 공리, 정의 및 이전에 증명된 정리들을 직관적으로 조합하여 주어진 명제의 참을 보여주는 방법입니다. 조건문 [latex]p rightarrow q[/latex]를 증명하려면, [latex]p[/latex]가 참이라고 가정하고 추론 규칙을 사용하여 [latex]q[/latex] 또한 참임을 보이면 됩니다.

귀류법 또는 귀류법은 간접 증명의 한 형태입니다. 이는 어떤 명제가 거짓이라고 가정했을 때 논리적 모순이 발생함을 보여줌으로써 그 명제의 참을 증명하는 방법입니다. 명제 p를 증명하려면, 먼저 그 명제의 부정인 n=p를 가정하고, q=n=q와 같은 모순을 추론하여 p가 참임을 결론짓습니다.

피타고라스 정리는 유클리드 기하학에서 직각삼각형의 세 변 사이의 기본적인 관계입니다. 이 정리는 빗변(직각의 맞은편 변)을 포함하는 정사각형의 넓이가 나머지 두 변을 포함하는 정사각형의 넓이의 합과 같다는 것입니다. 공식은 [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex]입니다.

분할 불가능성의 방법이라고도 알려진 이 원리는 두 평행 평면 사이에 놓인 두 입체가, 두 평면에 평행한 모든 평면과 만났을 때 단면적이 같으면 두 입체의 부피가 같다는 것입니다. 이 원리는 미적분학 없이 복잡한 도형의 부피를 계산하는 강력한 방법을 제공합니다.

피타고라스 정리는 직각 좌표계에서 거리 공식의 기초를 제공합니다. 평면상의 두 점 [latex](x_1, y_1)[/latex]과 [latex](x_2, y_2)[/latex] 사이의 거리 [latex]d[/latex]는 [latex]d = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}[/latex]로 주어집니다. 이 공식은 x좌표와 y좌표의 차이가 두 변인 직각삼각형에 피타고라스 정리를 직접 적용한 것입니다.

이 문제는 수학사에서 중요한 의미를 지닙니다. 1736년 레온하르트 오일러가 이 문제에 대한 부정적 해법을 제시함으로써 그래프 이론의 기초를 마련했고 위상수학의 개념을 예견했습니다. 이 문제는 쾨니히스베르크 시의 일곱 다리를 모두 되돌아가지 않고 한 번의 여정으로 건널 수 있으며, 여정의 끝이 출발했던 곳으로 다시 돌아올 수 있는지에 대한 질문이었습니다.

위상수학과 기하학의 기본 정리 중 하나는 모든 볼록 다면체에 대해 꼭짓점(V), 모서리(E), 면(F)의 개수가 [latex]V - E + F = 2[/latex]라는 공식으로 관련되어 있다는 것입니다. 이 값 2는 구의 오일러 특성값으로, 다면체의 특정 모양과 무관한 심오한 위상학적 속성을 보여줍니다.

베이즈 정리는 어떤 사건과 관련된 조건에 대한 사전 지식을 바탕으로 그 사건이 발생할 확률을 설명하는 정리입니다. 이는 확률 이론과 통계학에서 매우 기본적인 개념입니다. 수학적으로는 [latex]P(A|B) = frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex]로 표현되며, 여기서 A와 B는 사건이고 [latex]P(B) neq 0[/latex]입니다. 베이즈 정리는 두 확률 사건의 조건부 확률과 주변 확률 사이의 관계를 나타냅니다.