（图片仅供参考）
这 Pythagorean theorem provides the basis for the distance formula in Cartesian coordinates. The distance [latex]d[/latex] between two points [latex](x_1, y_1)[/latex] and [latex](x_2, y_2)[/latex] in a plane is given by [latex]d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}[/latex]. This formula is a direct application of the theorem to a right triangle whose legs are the differences in the x and y coordinates.
The Euclidean distance formula is a direct and powerful application of the Pythagorean theorem within the framework of a 笛卡尔坐标系 该系统提供了一种简单的方法来计算平面（或更高维空间）中任意两点之间的直线距离。对于两点 P1（坐标为 [latex](x_1, y_1)[/latex]）和 P2（坐标为 [latex](x_2, y_2)[/latex]），公式为 [latex]d = sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}[/latex]。
这个公式的推导过程直观易懂。这两个点可以看作是一个直角三角形的顶点。该三角形水平边的长度是 x 坐标的绝对差值，即 |x_2 - x_1|。垂直边的长度是 y 坐标的绝对差值，即 |y_2 - y_1|。P1 和 P2 之间的直线距离是该三角形的斜边。应用勾股定理（c² = a² + b²），我们得到 d² = (x_2 - x_1)² + (y_2 - y_1)²。两边同时开平方根即可得到距离公式。平方运算方便地消除了绝对值符号的需求。
这一概念源于古希腊几何学与17世纪由勒内·笛卡尔和皮埃尔·德·费马发展的解析几何学的结合，几乎是所有科学和技术领域的基础。它使得几何问题能够转化为代数问题并得到系统性的解决。该公式也能无缝地推广到三维或更高维度。对于三维空间中的两点[latex](x_1, y_1, z_1)[/latex]和[latex](x_2, y_2, z_2)[/latex]，它们的距离为[latex]d = sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 + (z_2 – z_1)^2}[/latex]。这种广义形式，称为欧几里得范数或 L2 范数，是线性代数、计算机科学（特别是机器学习中的“k 近邻”和聚类算法）和物理学的基石。
欧氏距离
（如果日期未知或不相关，例如“流体力学”，则提供其显著出现的近似估计）
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