innovation.world
Product Design, Manufacturing & Innovation Resources
घर » यूक्लिडियन दूरी

यूक्लिडियन दूरी

1650
  • René Descartes
Analytic geometry workspace with Euclidean distance calculations and historical context.

(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)

द Pythagorean theorem provides the basis for the distance formula in Cartesian coordinates. The distance [latex]d[/latex] between two points [latex](x_1, y_1)[/latex] and [latex](x_2, y_2)[/latex] in a plane is given by [latex]d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}[/latex]. This formula is a direct application of the theorem to a right triangle whose legs are the differences in the x and y coordinates.

The Euclidean distance formula is a direct and powerful application of the Pythagorean theorem within the framework of a कार्तिजीयन समन्वय यह प्रणाली किसी समतल (या उच्च-आयामी अंतरिक्ष) में किन्हीं दो बिंदुओं के बीच सीधी रेखा दूरी की गणना करने की एक सरल विधि प्रदान करती है। दो बिंदुओं, P1 (x_1, y_1) और P2 (x_2, y_2) के लिए, सूत्र है: d = √(x_2 → x_1)² + (y_2 → y_1)²²।

इस सूत्र की व्युत्पत्ति दृष्टिगत रूप से सहज है। दो बिंदुओं को समकोण त्रिभुज के शीर्षों के रूप में देखा जा सकता है। इस त्रिभुज की क्षैतिज भुजा की लंबाई x-निर्देशांकों का निरपेक्ष अंतर है, [latex]|x_2 – x_1|[/latex]। ऊर्ध्वाधर भुजा की लंबाई y-निर्देशांकों का निरपेक्ष अंतर है, [latex]|y_2 – y_1|[/latex]। P1 और P2 के बीच की सीधी रेखा दूरी इस त्रिभुज का कर्ण है। पाइथागोरस प्रमेय ([latex]c^2 = a^2 + b^2[/latex]) लागू करने पर, हमें [latex]d^2 = (x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2[/latex] प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर दूरी का सूत्र प्राप्त होता है। वर्ग करने की प्रक्रिया से निरपेक्ष मान के चिह्नों की आवश्यकता आसानी से समाप्त हो जाती है।

यह अवधारणा, प्राचीन ग्रीक ज्यामिति और 17वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस और पियरे डी फर्माट द्वारा विकसित विश्लेषणात्मक ज्यामिति के मेल से उत्पन्न हुई है, और लगभग हर वैज्ञानिक और तकनीकी क्षेत्र के लिए मूलभूत है। यह ज्यामितीय समस्याओं को बीजगणितीय समस्याओं में रूपांतरित करने और व्यवस्थित रूप से हल करने की अनुमति देती है। यह सूत्र तीन या अधिक आयामों तक भी सहजता से लागू होता है। 3D अंतरिक्ष में दो बिंदुओं (x₁, y₁, z₁) और (x₂, y₂, z₂) के लिए, दूरी d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)² है। यह सामान्यीकृत रूप, जिसे यूक्लिडियन नॉर्म या एल2 नॉर्म के रूप में जाना जाता है, रैखिक बीजगणित, कंप्यूटर विज्ञान (विशेष रूप से मशीन लर्निंग में "के-निकटतम पड़ोसियों" और क्लस्टरिंग एल्गोरिदम के लिए) और भौतिकी की आधारशिला है।

UNESCO Nomenclature: 1204
ज्यामिति

Type

सार प्रणाली

व्यवधान

मूलभूत

उपयोग

व्यापक उपयोग

शगुन

  • पाइथागोरस प्रमेय
  • रेने डेसकार्टेस द्वारा कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का विकास
  • बीजीय निर्देशांकों के साथ ज्यामितीय बिंदुओं को निरूपित करने की अवधारणा

आवेदन

  • कंप्यूटर विज्ञान (उदाहरण के लिए, मशीन लर्निंग में k-निकटतम पड़ोसी एल्गोरिदम)
  • geographic information systems (गिस)
  • रोबोटिक्स और स्वायत्त नेविगेशन
  • डेटा विश्लेषण और क्लस्टरिंग
  • वीडियो गेम विकास (वस्तुओं के बीच की दूरी की गणना करना)

पेटेंट:

NA

संभावित नवाचार विचार

  • एक मशीन लर्निंग एल्गोरिदम जो डेटासेट में विसंगति का पता लगाने के लिए मुख्य क्लस्टर के केंद्र से महत्वपूर्ण यूक्लिडियन दूरी पर स्थित बिंदुओं को ढूंढकर आउटलायर्स की पहचान करता है।
  • a logistics optimization software for ड्रोन delivery that calculates the most efficient 3d flight paths between warehouses and destinations, minimizing total euclidean distance traveled
  • a recommendation engine for streaming services that suggests new content by finding users whose viewing history is ‘closest’ to yours in a high-dimensional feature space
  • a genomic analysis tool that clusters different species by calculating the ‘genetic distance’ between their dna sequences represented as points in a multi-dimensional space
  • एक स्मार्ट सिटी यातायात प्रबंधन प्रणाली जो वाहनों को वास्तविक समय में भीड़भाड़ वाले स्थानों से यूक्लिडियन दूरी के आधार पर पुनर्निर्देशित करती है, न कि केवल सड़क की दूरी के आधार पर।
  • रासायनिक यौगिकों के लिए एक खोज इंजन जो एक डेटाबेस में निकटतम पड़ोसियों की खोज करके समान गुणों वाले अणुओं को ढूंढता है, जहां अणुओं को उनके संरचनात्मक विशेषता वैक्टर द्वारा दर्शाया जाता है।
  • एक जंगल की आग का पूर्वानुमान लगाने वाला मॉडल जो संभावित प्रज्वलन स्रोत से शुष्क ईंधन के निकटतम समूह तक की दूरी की गणना करके जोखिम का आकलन करता है।
  • an संवर्धित वास्तविकता interior design app that allows users to check if furniture will fit by calculating the 3d diagonal distance (hypotenuse) required to move it through a doorway
  • एक ऐसा चेहरा पहचान प्रणाली जो किसी नई छवि और डेटाबेस के प्रमुख चेहरे की विशेषताओं के वैक्टर के बीच यूक्लिडियन दूरी की तुलना करके व्यक्तियों की पहचान करता है।
  • एक नेटवर्क सुरक्षा उपकरण जो फीचर स्पेस में सामान्य ट्रैफ़िक पैटर्न से दूरी के आधार पर सांख्यिकीय रूप से असामान्य डेटा पैकेटों की पहचान करके घुसपैठ का पता लगाता है।
Related to: distance formula, euclidean distance, cartesian coordinates, analytic geometry, pythagorean theorem, coordinate system, machine learning, gis, mathematics, geometry.

ऐतिहासिक संदर्भ

Scholar engaged in proof by contradiction in an ancient library setting.

विरोधाभास द्वारा प्रमाण (बेतुकेपन की स्थिति तक सीमित करना)

विरोधाभास द्वारा प्रमाण, या रिडक्टियो एड एब्सर्डम, अप्रत्यक्ष प्रमाण का एक रूप है। यह किसी कथन की सत्यता को यह दर्शाकर स्थापित करता है कि किसी कथन को असत्य मानने से तार्किक विरोधाभास उत्पन्न होता है। किसी कथन p को सिद्ध करने के लिए, उसके निषेध, ऋणात्मक p को माना जाता है और q और ऋणात्मक q जैसे विरोधाभास को निकाला जाता है, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि p सत्य होना चाहिए।
Right-angled triangle illustrating the Pythagorean theorem in geometry.

पाइथागोरस प्रमेय

पाइथागोरस प्रमेय यूक्लिड ज्यामिति में समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं के बीच एक मूलभूत संबंध है। यह बताता है कि जिस वर्ग की भुजा कर्ण (समकोण के सामने वाली भुजा) होती है, उसका क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। सूत्र को [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex] के रूप में व्यक्त किया जाता है।
Mathematical derivation of Cavalieri's Principle with geometric shapes in a historical study setting.

कैवलियरी का सिद्धांत

अविभाज्य विधि के नाम से भी जाना जाने वाला यह सिद्धांत कहता है कि यदि दो समांतर तलों के बीच स्थित दो ठोसों में यह गुण हो कि उन दोनों तलों के समांतर प्रत्येक तल उन्हें समान क्षेत्रफल वाले अनुप्रस्थ काटों से काटता है, तो दोनों ठोसों का आयतन बराबर होता है। यह कैलकुलस के बिना जटिल आकृतियों के आयतन की गणना करने की एक शक्तिशाली विधि प्रदान करता है।

यूक्लिडियन दूरी

Königsberg bridge problem map illustrating Euler's graph theory foundation.

कोनिग्सबर्ग के सात पुल

यह गणित में ऐतिहासिक रूप से उल्लेखनीय समस्या है। लियोनहार्ड यूलर द्वारा 1736 में इसका नकारात्मक समाधान ग्राफ सिद्धांत की नींव रखने और टोपोलॉजी के विचार का पूर्वाभास देने वाला साबित हुआ। इस समस्या में पूछा गया था कि क्या कोनिग्सबर्ग शहर के सातों पुलों को बिना वापस लौटे एक ही यात्रा में पार किया जा सकता है, और यात्रा उसी भूभाग पर समाप्त हो जहाँ से शुरू हुई थी।
Mathematician's desk with Euler's Polyhedron Formula and geometric tools, 18th century.

यूलर का बहुफलक सूत्र

टोपोलॉजी और ज्यामिति में एक मूलभूत प्रमेय यह बताता है कि किसी भी उत्तल बहुफलक के लिए, शीर्षों (V), किनारों (E) और फलकों (F) की संख्या के बीच संबंध सूत्र [latex]V - E + F = 2[/latex] द्वारा निर्धारित होता है। यह मान, 2, गोले का यूलर अभिलक्षण है, जो बहुफलक के विशिष्ट आकार से स्वतंत्र एक गहन टोपोलॉजिकल गुण को प्रकट करता है।
Historical study room with mathematician calculating Bayes' theorem.

बेयस प्रमेय

बेयस प्रमेय किसी घटना की प्रायिकता का वर्णन उन पूर्व ज्ञान के आधार पर करता है जो उस घटना से संबंधित हो सकती हैं। यह प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में एक मूलभूत अवधारणा है। गणितीय रूप से, इसे [latex]P(A|B) = frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex] के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ A और B घटनाएँ हैं और [latex]P(B) neq 0[/latex]। यह दो यादृच्छिक घटनाओं की सशर्त और सीमांत प्रायिकताओं को आपस में जोड़ता है।
-400
-550
1635
1650
1736
1750
1763-12-23
-350
-500
150
1640
1650
1747
1758
1777
Five Platonic solids: tetrahedron, cube, octahedron, dodecahedron, icosahedron in geometry.

पाँच प्लेटोनिक ठोस

प्लेटोनिक ठोस पाँच उत्तल नियमित बहुफलक हैं: एक नियमित बहुफलक में सर्वांगसम नियमित बहुभुजीय फलक होते हैं और प्रत्येक शीर्ष पर समान संख्या में फलक मिलते हैं। ये पाँच ठोस हैं: चतुष्फलक (4 फलक), घन (6 फलक), अष्टफलक (8 फलक), द्वादशफलक (12 फलक) और विंशफलक (20 फलक)। इनकी समरूपता और गुणों का अध्ययन प्राचीन काल से किया जा रहा है।
Stone tablet inscribed with the proof of the irrationality of the square root of 2.

2 के वर्गमूल की अपरिमेयता

2 का वर्गमूल एक अपरिमेय संख्या है, जिसका अर्थ है कि इसे दो पूर्णांकों के अनुपात [latex]p/q[/latex] के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसका प्रचलित प्रमाण, जिसे अक्सर पाइथागोरसवादियों से जोड़ा जाता है, विरोधाभास द्वारा सिद्ध किया जाता है: यह सबसे सरल रूप में [latex]√2 = p/q[/latex] मानता है, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि [latex]p[/latex] और [latex]q[/latex] दोनों सम संख्याएँ होनी चाहिए, जो प्रारंभिक धारणा का खंडन करता है।
Ancient scroll depicting Ptolemy's Theorem with geometric diagrams for trigonometric identities.

टॉलेमी का प्रमेय और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

टॉलेमी का प्रमेय त्रिकोणमिति में योग और अंतर सूत्रों के लिए एक सुंदर ज्यामितीय प्रमाण प्रदान करता है। एक चतुर्भुज को एक वृत्त में इस प्रकार अंकित करके कि उसकी एक भुजा व्यास हो, भुजाओं की लंबाई को अंतर्निहित कोणों के साइन और कोसाइन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। प्रमेय [latex]AC cdot BD = AB cdot CD + BC cdot DA[/latex] को सीधे लागू करने पर [latex]sin(alpha + beta) = sinalphacosbeta + cosalphasinbeta[/latex] जैसी सर्वसमिकाएँ प्राप्त होती हैं।
Cartesian coordinate system model in a professional office setting for analytic geometry.

कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली

कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए एक बीजगणितीय मॉडल प्रदान करती है। यह अंतरिक्ष में किसी बिंदु की स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए एक या अधिक संख्याओं, या निर्देशांकों का उपयोग करती है। एक समतल में, दो लंबवत रेखाओं (x-अक्ष और y-अक्ष) का उपयोग किया जाता है, जिससे ज्यामितीय आकृतियों को बीजगणितीय समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है। बीजगणित और ज्यामिति के इस संयोजन को विश्लेषणात्मक ज्यामिति के रूप में जाना जाता है।
Study room with mathematician proving properties using mathematical induction.

गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण

गणितीय प्रेरण एक ऐसी तकनीक है जिसका उपयोग यह सिद्ध करने के लिए किया जाता है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए एक गुणधर्म P(n) सत्य है। इसमें दो चरण शामिल हैं: आधार चरण, जिसमें P(0) या P(1) सत्य सिद्ध किया जाता है, और प्रेरण चरण, जिसमें यह सिद्ध किया जाता है कि यदि किसी प्राकृतिक संख्या k के लिए P(k) सत्य है (प्रेरण परिकल्पना), तो P(k+1) भी सत्य होगा।
Jean le Rond d'Alembert developing the wave equation in a historical office setting.

तरंग समीकरण (भौतिकी)

यह द्वितीय क्रम का रैखिक अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरण है जो विभिन्न प्रकार की तरंगों के प्रसार को नियंत्रित करता है। इसे सरलतम रूप में [latex]frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 nabla^2 u[/latex] के रूप में लिखा जाता है, जहाँ [latex]u(vec{x},t)[/latex] तरंग का आयाम है, [latex]c[/latex] तरंग की गति है, और [latex]nabla^2[/latex] लाप्लास प्रवर्तक है। यह कंपनशील तार, ध्वनि तरंगें और प्रकाश तरंगें जैसी घटनाओं का प्रतिरूपण करता है।
Mathematician's desk with Euler characteristic formula, quill, ink, and parchment.

यूलर विशेषता

यूलर अभिलक्षणिका एक टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीयता है, एक संख्या जो किसी टोपोलॉजिकल स्पेस की संरचना या आकार का वर्णन करती है, चाहे उसे किसी भी तरह से मोड़ा जाए। बहुफलकों के लिए, इसे सूत्र [latex]chi = V - E + F[/latex] द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ V, E और F क्रमशः शीर्षों, किनारों और फलकों की संख्या हैं। गोले के लिए, [latex]chi = 2[/latex], जबकि टोरस के लिए, [latex]chi = 0[/latex]।
Geometric probability experiment with needle and parallel lines on a wooden floor.

बफॉन की सुई की समस्या

ज्यामितीय प्रायिकता की सबसे प्रारंभिक समस्याओं में से एक, इसे मोंटे कार्लो विधि का अग्रदूत माना जाता है। इसमें [latex]l[/latex] लंबाई की एक सुई को [latex]t[/latex] दूरी पर स्थित समानांतर रेखाओं वाले फर्श पर गिराया जाता है। सुई द्वारा किसी रेखा को पार करने की प्रायिकता [latex]P = frac{2l}{pi t}[/latex] है (जहाँ [latex]l le t[/latex] है)। यह [latex]pi[/latex] का अनुमान लगाने के लिए एक भौतिक प्रयोग प्रदान करता है।

(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)

नवीनतम परिवर्धन

शीर्ष पोस्ट और लेख

अन्य सभी डिज़ाइन लेख

शीर्ष मूल उपकरण

अन्य सभी मौलिक नवाचार.विश्व उपकरण
10वां वर्ष सालगिरह

पंजीकृत सदस्यों के लिए पूर्ण आकार की छवियाँ और डाउनलोड 100% निःशुल्क उपलब्ध हैं।

> लॉग इन करें <