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の 2の平方根 is an irrational number, meaning it cannot be expressed as a ratio of two integers [latex]p/q[/latex]. The classic proof, often attributed to the Pythagoreans, is a proof by contradiction: it assumes [latex]\sqrt{2} = p/q[/latex] in lowest terms, which leads to the conclusion that both [latex]p[/latex] and [latex]q[/latex] must be even, contradicting the initial assumption.
[latex]sqrt{2}[/latex]の無理性の証明は数論の基礎であり、古典的な例である。 背理法議論は次のように進みます。まず、[latex]sqrt{2}[/latex] が 有理数定義によれば、これは、1 以外の共通因数を持たない 2 つの整数 [latex]p[/latex] と [latex]q[/latex] が存在し、[latex]sqrt{2} = p/q[/latex] となることを意味します。両辺を二乗すると [latex]2 = p^2/q^2[/latex] となり、これを [latex]2q^2 = p^2[/latex] と変形できます。
この式は、[latex]p^2[/latex]が2の倍数であるため偶数であることを示しています。重要な補題は、整数の2乗が偶数であれば、その整数自体も偶数でなければならないということです。したがって、[latex]p[/latex]は偶数です。これは、[latex]p[/latex]が、ある整数[latex]k[/latex]に対して[latex]2k[/latex]と書けることを意味します。[latex]p=2k[/latex]を方程式[latex]2q^2 = p^2[/latex]に代入すると、[latex]2q^2 = (2k)^2 = 4k^2[/latex]が得られます。両辺を2で割ると、[latex]q^2 = 2k^2[/latex]が得られます。
この新しい方程式は、[latex]q^2[/latex]も偶数であることを示しており、同じ補題により、[latex]q[/latex]も偶数でなければなりません。[latex]p[/latex]と[latex]q[/latex]の両方が偶数であるという結論は、分数[latex]p/q[/latex]が最も簡単な形である（つまり、[latex]p[/latex]と[latex]q[/latex]に共通因数がない）という最初の仮定と矛盾します。最初の仮定は矛盾につながるため、仮定は誤りでなければなりません。したがって、[latex]sqrt{2}[/latex]は有理数にはなり得ず、無理数です。この発見は、すべての幾何学的量を整数の比として比較できるという前提に基づいて構築されていたギリシャの数学にとって革命的なものでした。
2の平方根の無理性
（日付が不明または関連性がない場合、例えば「流体力学」などでは、その注目すべき出現時期の概算値が提示されます。）
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