不可分法とも呼ばれるこの原理は、2つの平行な平面の間にある2つの立体が、その2つの平面に平行なすべての平面と等しい面積の断面で交わる性質を持つ場合、2つの立体は等しい体積を持つというものです。これは、微積分を用いずに複雑な形状の体積を計算するための強力な方法を提供します。
カバリエリの原則
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- Bonaventura Cavalieri
（画像はイメージです）
カヴァリエリの原理は、三次元物体の体積を決定するための、優雅で直感的な方法を提供します。これは、立体を無限に多くの極めて薄い断面、つまり「分割不可能な部分」に分割するという考え方を形式化したものです。その核心となる考え方は、2つの立体があり、あらゆる高さにおいて、一方の立体の断面積がもう一方の立体の断面積と等しい場合、それらの総体積は同じでなければならないということです。これは、2つのコインの山を比較するようなものです。一方の山の各コインの面積が、もう一方の山の対応するコインの面積と同じであれば、山の傾きや配置に関係なく、金属の総体積は同じになります。
A classic application of this principle is to find the volume of a sphere. Consider a hemisphere of radius [latex]r[/latex]. Its cross-sectional area at a height [latex]h[/latex] from the base is a circle with area [latex]A = \pi(r’)^2[/latex]. By the Pythagorean theorem, [latex]h^2 + (r’)^2 = r^2[/latex], so [latex](r’)^2 = r^2 – h^2[/latex]. Thus, the area is [latex]A = \pi(r^2 – h^2)[/latex]. Now, consider a cylinder of radius [latex]r[/latex] and height [latex]r[/latex], with an inverted cone of the same radius and height removed from its center. The cross-sectional area of this shape at height [latex]h[/latex] is the area of the larger circle (from the cylinder) minus the area of the smaller circle (from the cone). This gives [latex]A = \pi r^2 – \pi h^2 = \pi(r^2 – h^2)[/latex].
断面積はどの高さ [latex]h[/latex] でも同じなので、カヴァリエリの原理によれば、半球の体積は円柱から円錐を引いた形状の体積に等しくなります。円柱の体積は [latex]pi r^2 cdot r = pi r^3[/latex]、円錐の体積は [latex]frac{1}{3}pi r^2 cdot r = frac{1}{3}pi r^3[/latex] です。したがって、半球の体積は [latex]pi r^3 – frac{1}{3}pi r^3 = frac{2}{3}pi r^3[/latex] です。球全体の体積はこれの2倍、つまり[latex]frac{4}{3}pi r^3[/latex]です。17世紀にボナヴェントゥーラ・カヴァリエリによって開発されたこの方法は、積分計算の発展に向けた重要な一歩でした。 ニュートン そしてライプニッツ。
UNESCO Nomenclature: 1204
幾何学
タイプ
抽象システム
混乱
実質的な
使用法
広く普及している
前駆物質
- アルキメデスの除渠法
- 5世紀の中国における祖庚之による球の体積計算に関する研究
- 初期数学における無限小の概念
アプリケーション
- 球の体積を計算する
- 円錐とピラミッドの体積公式を導出する
- 積分計算（前身概念として）
- 体積測定のためのコンピュータ断層撮影（CT）スキャン分析
- 土工量の見積もりに関する地盤工学
特許:
NA
潜在的なイノベーションのアイデア
- 4Dプリンティング techniques where object volume is controlled by layering cross-sections of varying material density
- algorithms for optimizing material usage in 積層造形 by ensuring constant cross-sectional stress distribution
- medical imaging software that reconstructs 3d organ volumes from 2d slices with greater accuracy
- geological modeling software to estimate mineral deposits by comparing seismic cross-section data
- ai-driven architectural design that generates complex forms with predefined volumes
- fluid dynamics simulations that calculate flow rates through irregular channels
- haptic feedback systems that simulate the ‘feel’ of an object’s volume based on cross-sectional data
- non-destructive testing methods for industrial parts that calculate internal void volumes
関連: カヴァリエリの原理、不可分法、体積計算、積分計算、断面、球の体積、立体幾何学、円柱。
歴史的背景
カバリエリの原則
（日付が不明または関連性がない場合、例えば「流体力学」などでは、その注目すべき出現時期の概算値が提示されます。）
