सामान्य और विशेष कारण भिन्नता

गिब्स घटना, जंप असंतुलन पर फूरियर श्रृंखला के व्यवहार का वर्णन करती है। श्रृंखला के आंशिक योग जंप के पास एक अतिवृद्धि दर्शाते हैं, जो अधिक पद जोड़ने पर भी गायब नहीं होती। यह अतिवृद्धि श्रृंखला में पदों की संख्या की परवाह किए बिना, जंप की ऊँचाई के लगभग 9% के स्थिर मान पर अभिसरित होती है।

यह प्रमेय बताता है कि एक रैखिक प्रतिगमन मॉडल में, जहाँ त्रुटियों का माध्य शून्य होता है, वे असंबंधित होती हैं और उनका प्रसरण स्थिर होता है (समरूपता), साधारण न्यूनतम वर्ग (ओएलएस) अनुमानक सर्वश्रेष्ठ रैखिक निष्पक्ष अनुमानक (ब्लू) होता है। 'सर्वश्रेष्ठ' का अर्थ है कि प्रतिगमन गुणांकों के सभी रैखिक निष्पक्ष अनुमानकों में इसका प्रसरण न्यूनतम होता है, जिससे यह सबसे सटीक होता है।

यह प्रमेय बताता है कि किसी भी सतत फलन [latex]f[/latex] के लिए जो एक संकुचित उत्तल समुच्चय को स्वयं पर परावर्तित करता है, एक बिंदु [latex]x_0[/latex] होता है जैसे कि [latex]f(x_0) = x_0[/latex]। इस बिंदु को स्थिर बिंदु कहा जाता है। सरल शब्दों में, यदि आप किसी देश का नक्शा लें, उसे मोड़ें और देश की सीमाओं के भीतर रखें, तो नक्शे पर हमेशा कम से कम एक बिंदु ऐसा होगा जो उसके वास्तविक स्थान के ठीक ऊपर होगा।

एसपीसी में समय के साथ किसी प्रक्रिया चर की निगरानी के लिए उपयोग किया जाने वाला एक ग्राफिकल टूल। यह प्रक्रिया औसत का प्रतिनिधित्व करने वाली केंद्रीय रेखा (सीएल) और ऊपरी (यूसीएल) और निचली (एलसीएल) नियंत्रण सीमाओं के बीच डेटा बिंदुओं को प्लॉट करता है। ये सीमाएँ आमतौर पर माध्य से तीन मानक विचलन (μ ± 3 σ) पर निर्धारित की जाती हैं, जो अपेक्षित सामान्य कारण भिन्नता की सीमा को परिभाषित करती हैं।

वन-वे एनोवा का उपयोग तीन या दो से अधिक स्वतंत्र समूहों के माध्यों के बीच सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण अंतर हैं या नहीं, यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है। यह एक सतत आश्रित चर पर एक एकल श्रेणीबद्ध स्वतंत्र चर (जिसे कारक कहा जाता है) के प्रभाव का विश्लेषण करता है। शून्य परिकल्पना यह बताती है कि सभी समूह माध्य बराबर हैं, [latex]H_0: mu_1 = mu_2 = dots = mu_k[/latex]।

अभाज्य संख्या प्रमेय पूर्णांकों के बीच अभाज्य संख्याओं के स्पर्शोन्मुख वितरण का वर्णन करता है। यह बताता है कि अभाज्य संख्याओं की गणना करने वाला फलन [latex]pi(x)[/latex], जो [latex]x[/latex] से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं की संख्या देता है, स्पर्शोन्मुख रूप से [latex]x / ln(x)[/latex] के समतुल्य है। औपचारिक रूप से, [latex]lim_{x to infty} frac{pi(x)}{x/ln(x)} = 1[/latex]। यह अभाज्य संख्याओं और प्राकृतिक लघुगणक के बीच एक मूलभूत संबंध स्थापित करता है।

एक सांख्यिकी जो मॉडल की उपयुक्तता को दर्शाती है, यह आश्रित चर में भिन्नता के उस अनुपात को दर्शाती है जिसे स्वतंत्र चर से अनुमानित किया जा सकता है। R² का मान 1 होने पर पूर्ण उपयुक्तता का संकेत मिलता है, जबकि 0 होने पर कोई रैखिक संबंध नहीं होता है। इसकी गणना [latex]R² equiv 1 - frac{SS_{res}}{SS_{tot}}[/latex] सूत्र से की जाती है, जहाँ [latex]SS_{res}[/latex] अवशिष्ट वर्गों का योग है।

फ्रेडहोम सूचकांक, रैंक-शून्यता प्रमेय को बानाच स्पेस जैसे अनंत-आयामी स्पेस तक विस्तारित करता है। फ्रेडहोम ऑपरेटर [latex]T: X to Y[/latex] के लिए, इसका सूचकांक [latex]text{ind}(T) = dim(ker(T)) - dim(text{coker}(T))[/latex] के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ कोकर्नेल का आयाम यह मापता है कि छवि संपूर्ण स्पेस से कितनी दूर है। ऑपरेटर में छोटे-मोटे बदलावों के बावजूद यह सूचकांक एक स्थिर पूर्णांक मान होता है।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक क्रमित युग्म [latex](X, tau)[/latex] होता है, जहाँ [latex]X[/latex] एक समुच्चय है और [latex]tau[/latex], [latex]X[/latex] के उपसमुच्चयों का एक संग्रह है, जिन्हें खुले समुच्चय कहा जाता है, जो तीन अभिधारणाओं को संतुष्ट करते हैं: 1) रिक्त समुच्चय [latex]emptyset[/latex] और स्वयं [latex]X[/latex], [latex]tau[/latex] में हैं। 2) [latex]tau[/latex] में किसी भी संख्या में समुच्चयों का संघ भी [latex]tau[/latex] में होता है। 3) [latex]tau[/latex] में किसी भी परिमित संख्या में समुच्चयों का प्रतिच्छेदन भी [latex]tau[/latex] में होता है।

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत, जिसे आमतौर पर ZFC (चयन के स्वयंसिद्ध के साथ) के रूप में संक्षिप्त किया जाता है, समकालीन गणित के लिए मानक स्वयंसिद्ध प्रणाली है। इसमें प्रथम-कोटि तर्क में व्यक्त स्वयंसिद्धों का एक संग्रह होता है, जो सेटों के गुणों को औपचारिक रूप देता है। आज उपयोग में आने वाले लगभग सभी गणितीय प्रमेयों को ZFC के भीतर सूत्रबद्ध और सिद्ध किया जा सकता है।

विचरण विश्लेषण (ANOVA) एक सांख्यिकीय विधि है जो डेटा सेट में देखी गई कुल परिवर्तनशीलता को विभिन्न स्रोतों से उत्पन्न घटकों में विभाजित करती है। इसका मूल विचार विभिन्न समूहों के माध्यों के बीच के विचरण की तुलना उन समूहों के भीतर के विचरण से करना है। यदि समूहों के बीच का विचरण काफी अधिक है, तो यह दर्शाता है कि समूहों के माध्य वास्तव में भिन्न हैं।

कौरेंट-फ्रेडरिक्स-लेवी (सीएफएल) शर्त, स्पष्ट समय-एकीकरण योजनाओं का उपयोग करके अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरणों के संख्यात्मक समाधानों के लिए एक आवश्यक स्थिरता मानदंड है। यह निर्धारित करता है कि समय चरण का आकार इतना छोटा होना चाहिए कि सूचना प्रति समय चरण एक स्थानिक ग्रिड सेल से आगे न बढ़े। 1D मामले के लिए, [latex]C = u frac{Delta t}{Delta x} le C_{max}[/latex], संख्यात्मक स्थिरता सुनिश्चित करता है।

एनोवा (ANOVA) के परिणामों को वैध मानने के लिए, डेटा के संबंध में कई प्रमुख मान्यताओं का पूरा होना आवश्यक है। ये मान्यताएँ इस प्रकार हैं: (1) प्रेक्षणों की स्वतंत्रता, जिसका अर्थ है कि त्रुटियाँ असंबद्ध हैं। (2) सामान्य वितरण, जहाँ प्रत्येक समूह के अवशिष्ट लगभग सामान्य रूप से वितरित होते हैं। (3) समरूपता, या प्रसरणों की एकरूपता, जिसका अर्थ है कि सभी समूहों में अवशिष्टों का प्रसरण समान है।