(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)
फ्रेडहोम सूचकांक सामान्यीकरण करता है रैंक-शून्यता प्रमेय बैनच स्पेस जैसे अनंत-आयामी स्पेस के लिए। फ्रेडहोम ऑपरेटर [latex]T: X to Y[/latex] के लिए, इसका इंडेक्स [latex]text{ind}(T) = dim(ker(T)) – dim(text{coker}(T))[/latex] के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ कोकर्नेल का आयाम यह मापता है कि छवि संपूर्ण स्पेस से कितनी दूर है। ऑपरेटर के छोटे-मोटे बदलावों के बावजूद यह इंडेक्स एक स्थिर पूर्णांक मान होता है।
द rank-nullity theorem, [latex]\dim(V) – \text{rank}(T) = \text{nullity}(T)[/latex], holds for linear maps between finite-dimensional vector spaces. In this context, [latex]\dim(V) – \text{rank}(T)[/latex] is the dimension of the cokernel, [latex]\text{coker}(T) = W/\text{im}(T)[/latex]. Thus, the theorem can be written as [latex]\dim(\ker(T)) – \dim(\text{coker}(T)) = 0[/latex]. The Fredholm index extends this idea to Fredholm operators, which are bounded linear operators between Banach spaces whose kernel and cokernel are both finite-dimensional.
ऐसे ऑपरेटर [latex]T: X to Y[/latex] के लिए, फ्रेडहोम सूचकांक [latex]text{ind}(T) = dim(ker(T)) – dim(text{coker}(T))[/latex] होता है। परिमित-आयामी स्थिति के विपरीत, जहाँ यह अंतर हमेशा शून्य होता है, अनंत-आयामी स्थानों के लिए, सूचकांक कोई भी पूर्णांक हो सकता है। सूचकांक का एक प्रमुख गुण इसकी स्थिरता है: यह ऑपरेटर के कॉम्पैक्ट विक्षोभ के तहत नहीं बदलता है। इसका अर्थ है कि यदि [latex]K[/latex] एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है, तो [latex]text{ind}(T+K) = text{ind}(T)[/latex]।
The concept of the cokernel is crucial for this generalization. For a map [latex]T: X \to Y[/latex], the image [latex]\text{im}(T)[/latex] is a subspace of the codomain [latex]Y[/latex]. The cokernel, [latex]\text{coker}(T)[/latex], is the quotient space [latex]Y / \text{im}(T)[/latex]. Its dimension measures the ‘number of independent directions’ in [latex]Y[/latex] that are not reached by [latex]T[/latex]. In finite dimensions, the रैंक-शून्यता प्रमेय implies [latex]\dim(\ker(T)) = \dim(\text{coker}(T))[/latex]. In infinite dimensions, this equality breaks down, but the difference between these two finite dimensions remains a stable integer, the Fredholm index.
यह स्थिरता सूचकांक को एक शक्तिशाली टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट बनाती है। यह एटियाह-सिंगर सूचकांक प्रमेय में केंद्रीय भूमिका निभाता है, जो 20वीं शताब्दी के गणित के सबसे महत्वपूर्ण परिणामों में से एक है। यह प्रमेय एक कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड पर एक डिफरेंशियल ऑपरेटर के विश्लेषणात्मक सूचकांक को उस मैनिफोल्ड के टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट से जोड़ता है। यह विश्लेषण और टोपोलॉजी के बीच की खाई को पाटता है, जिसके सैद्धांतिक भौतिकी और ज्यामिति में दूरगामी परिणाम हैं।
फ्रेडहोम सूचकांक
(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)
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