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निर्धारण गुणांक (R²)

1900
  • Karl Pearson
एक सांख्यिकीविद् कार्यालय के माहौल में प्रतिगमन मॉडल डेटा का विश्लेषण कर रहा है।

(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)

एक सांख्यिकी जो मॉडल की उपयुक्तता को दर्शाती है, यह आश्रित चर में भिन्नता के उस अनुपात को दर्शाती है जिसे स्वतंत्र चर से अनुमानित किया जा सकता है। R² का मान 1 होने पर पूर्ण उपयुक्तता का संकेत मिलता है, जबकि 0 होने पर कोई रैखिक संबंध नहीं होता है। इसकी गणना [latex]R^2 equiv 1 – frac{SS_{res}}{SS_{tot}}[/latex] सूत्र से की जाती है, जहाँ [latex]SS_{res}[/latex] अवशिष्ट वर्गों का योग है।

निर्धारण गुणांक (आर-स्क्वायर) प्रतिगमन मॉडल के मूल्यांकन के लिए एक महत्वपूर्ण मापदंड है। यह मॉडल द्वारा परिणाम में कितनी भिन्नता को समाहित किया गया है, इसका सहज माप प्रदान करता है। यह दो प्रमुख घटकों से प्राप्त होता है। पहला है वर्गों का कुल योग ([latex]SS_{tot} = sum_i (y_i – bar{y})^2[/latex]), जो आश्रित चर [latex]y[/latex] में कुल विचरण को मापता है। दूसरा है वर्गों का अवशिष्ट योग ([latex]SS_{res} = sum_i (y_i – hat{y}_i)^2[/latex]), जो मॉडल द्वारा अस्पष्ट छोड़े गए विचरण को मापता है, जहाँ [latex]hat{y}_i[/latex] अनुमानित मान है।

सूत्र [latex]R² = 1 – SS_{res}/SS_{tot}[/latex] को कुल विचरण के उस प्रतिशत के रूप में समझा जा सकता है जिसे प्रतिगमन मॉडल द्वारा "स्पष्ट" किया जाता है। उदाहरण के लिए, 0.75 का R² मान दर्शाता है कि परिणाम में 75% परिवर्तनशीलता को मॉडल में मौजूद भविष्यवाणियों द्वारा समझाया जा सकता है। सरल रैखिक प्रतिगमन में, R² प्रेक्षित और अनुमानित मानों के बीच पियर्सन सहसंबंध गुणांक (r) का वर्ग होता है।

हालांकि, R² की एक महत्वपूर्ण सीमा है: मॉडल में एक नया प्रेडिक्टर वेरिएबल जोड़ने पर भी इसका मान कभी कम नहीं होता, भले ही नया वेरिएबल अप्रासंगिक ही क्यों न हो। यह भ्रामक हो सकता है और ओवरफिटिंग को बढ़ावा दे सकता है। इस समस्या से निपटने के लिए, अक्सर एडजस्टेड R-स्क्वेर्ड का उपयोग किया जाता है। यह मॉडल में प्रेडिक्टर्स की संख्या को ध्यान में रखते हुए R² के मान को संशोधित करता है, जिससे मल्टीपल रिग्रेशन के लिए फिट की सटीकता का अधिक सटीक माप मिलता है।

UNESCO Nomenclature: 1209
सांख्यिकी

Type

सार प्रणाली

व्यवधान

संतोषजनक

उपयोग

व्यापक उपयोग

शगुन

  • विचरण और मानक विचलन की अवधारणा
  • न्यूनतम वर्ग विधि
  • पियर्सन का उत्पाद-क्षण सहसंबंध गुणांक
  • विचरण का विश्लेषण (एनोवा) सिद्धांत

आवेदन

  • विज्ञान और इंजीनियरिंग में पूर्वानुमान मॉडल के प्रदर्शन का मूल्यांकन करना
  • अर्थमिति और सामाजिक विज्ञान में मॉडल चयन
  • किसी प्रेडिक्टर के समूह द्वारा समझाई गई भिन्नता के अनुपात को मापना
  • validating financial models for जोखिम आकलन

पेटेंट:

NA

संभावित नवाचार विचार

  • a ‘model confidence score’ for citizen data scientists using automated machine learning platforms
  • नीति की प्रभावशीलता का समय के साथ मूल्यांकन करने के लिए सुदृढीकरण अधिगम में गतिशील R² ट्रैकिंग
  • आनुवंशिक स्क्रीनिंग एल्गोरिदम जो रोग भिन्नता की व्याख्या करने वाले जीन के समूहों की पहचान करने के लिए समायोजित R² भिन्नता का उपयोग करते हैं
  • बाजार कारकों द्वारा समझाए गए रिटर्न के प्रतिशत को दर्शाने वाले रीयल-टाइम पोर्टफोलियो प्रदर्शन डैशबोर्ड।
  • कृत्रिम बुद्धिमत्ता द्वारा संचालित वैज्ञानिक खोज उपकरण जो प्रयोगात्मक डेटा के लिए उनके द्वारा प्रदान की गई व्याख्यात्मक भिन्नता के आधार पर परिकल्पनाओं को रैंक करते हैं।
  • शहरी नियोजन सॉफ्टवेयर जो यह मूल्यांकन करता है कि ज़ोनिंग में बदलाव यातायात जाम में होने वाले बदलावों को कितनी अच्छी तरह से समझाते हैं।
  • ऐसे व्यक्तिगत फिटनेस ऐप जो वजन घटाने की प्रगति पर आहार और व्यायाम के R² की गणना करते हैं।
  • climate model validation tools that measure the proportion of temperature variance captured by simulations
  • ग्राहक विभाजन मॉडल जिनका मूल्यांकन इस आधार पर किया जाता है कि जनसांख्यिकी क्रय व्यवहार को कितनी अच्छी तरह से समझाती है।
  • स्वचालित गुणवत्ता नियंत्रण प्रणालियाँ जो R² का उपयोग करके यह आकलन करती हैं कि सेंसर रीडिंग उत्पाद दोषों की कितनी सटीक भविष्यवाणी करती हैं।
संबंधित शब्द: आर-स्क्वायर, निर्धारण गुणांक, उपयुक्तता की अच्छाई, मॉडल मूल्यांकन, व्याख्यायित विचरण, वर्गों का योग, प्रतिगमन निदान, सांख्यिकीय सार्थकता, समायोजित आर-स्क्वायर, सहसंबंध।

ऐतिहासिक संदर्भ

पुरातन डेस्क और चर्मपत्र कागजों के साथ रीमैनियन ज्यामिति का अध्ययन।

रीमैनियन ज्यामिति

रीमैनियन ज्यामिति, अवकल ज्यामिति की वह शाखा है जो रीमैनियन मैनिफोल्ड्स का अध्ययन करती है—ये चिकने मैनिफोल्ड्स होते हैं जिनमें रीमैनियन मीट्रिक होता है। यह मीट्रिक स्पर्शरेखा क्षेत्रों पर आंतरिक गुणनफलों का एक संग्रह है, जो एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक सुचारू रूप से बदलता रहता है। यह कोण, वक्रों की लंबाई, पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन जैसी स्थानीय ज्यामितीय अवधारणाओं को परिभाषित करने की अनुमति देता है, जिससे वक्रता की एक सामान्यीकृत अवधारणा प्राप्त होती है।
एक गणितज्ञ ऐतिहासिक कार्यालय के परिवेश में रैंक-शून्यता प्रमेय लिख रहे हैं।

रैंक-शून्यता प्रमेय

रेखीय बीजगणित में, रैंक-शून्यता प्रमेय यह बताता है कि परिमित-आयामी सदिश स्थानों के बीच किसी भी रेखीय मानचित्र [latex]T: V to W[/latex] के लिए, उसके डोमेन [latex]V[/latex] का आयाम उसकी रैंक (उसकी छवि का आयाम) और उसकी शून्यता (उसके कर्नेल का आयाम) का योग होता है। सूत्र है [latex]dim(V) = text{rank}(T) + text{nullity}(T)[/latex]।
गणित के कागजात और अभाज्य संख्या सिद्धांत से संबंधित एक प्राचीन कैलकुलेटर से सुसज्जित एक पुराना कार्यालय।

अभाज्य संख्या प्रमेय

अभाज्य संख्या प्रमेय पूर्णांकों के बीच अभाज्य संख्याओं के स्पर्शोन्मुख वितरण का वर्णन करता है। यह बताता है कि अभाज्य संख्याओं की गणना करने वाला फलन [latex]pi(x)[/latex], जो [latex]x[/latex] से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं की संख्या देता है, स्पर्शोन्मुख रूप से [latex]x / ln(x)[/latex] के समतुल्य है। औपचारिक रूप से, [latex]lim_{x to infty} frac{pi(x)}{x/ln(x)} = 1[/latex]। यह अभाज्य संख्याओं और प्राकृतिक लघुगणक के बीच एक मूलभूत संबंध स्थापित करता है।

निर्धारण गुणांक (R²)

गणितज्ञ की मेज जिस पर कार्यात्मक विश्लेषण सामग्री और फ्रेडहोम सूचकांक पर समीकरण मौजूद हैं।

फ्रेडहोम सूचकांक

फ्रेडहोम सूचकांक, रैंक-शून्यता प्रमेय को बानाच स्पेस जैसे अनंत-आयामी स्पेस तक विस्तारित करता है। फ्रेडहोम ऑपरेटर [latex]T: X to Y[/latex] के लिए, इसका सूचकांक [latex]text{ind}(T) = dim(ker(T)) - dim(text{coker}(T))[/latex] के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ कोकर्नेल का आयाम यह मापता है कि छवि संपूर्ण स्पेस से कितनी दूर है। ऑपरेटर में छोटे-मोटे बदलावों के बावजूद यह सूचकांक एक स्थिर पूर्णांक मान होता है।
Mathematician's desk with topology textbook and chalkboard, representing topological space.

स्थलीय स्थान

एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक क्रमित युग्म [latex](X, tau)[/latex] होता है, जहाँ [latex]X[/latex] एक समुच्चय है और [latex]tau[/latex], [latex]X[/latex] के उपसमुच्चयों का एक संग्रह है, जिन्हें खुले समुच्चय कहा जाता है, जो तीन अभिधारणाओं को संतुष्ट करते हैं: 1) रिक्त समुच्चय [latex]emptyset[/latex] और स्वयं [latex]X[/latex], [latex]tau[/latex] में हैं। 2) [latex]tau[/latex] में किसी भी संख्या में समुच्चयों का संघ भी [latex]tau[/latex] में होता है। 3) [latex]tau[/latex] में किसी भी परिमित संख्या में समुच्चयों का प्रतिच्छेदन भी [latex]tau[/latex] में होता है।
Mathematics office showcasing Zermelo–Fraenkel set theory discussions.

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी (ZFC)

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत, जिसे आमतौर पर ZFC (चयन के स्वयंसिद्ध के साथ) के रूप में संक्षिप्त किया जाता है, समकालीन गणित के लिए मानक स्वयंसिद्ध प्रणाली है। इसमें प्रथम-कोटि तर्क में व्यक्त स्वयंसिद्धों का एक संग्रह होता है, जो सेटों के गुणों को औपचारिक रूप देता है। आज उपयोग में आने वाले लगभग सभी गणितीय प्रमेयों को ZFC के भीतर सूत्रबद्ध और सिद्ध किया जा सकता है।
1854
1884
1896
1900
1903
1914
1922
1854
1854
1895
1899
1900
1911
1920
1924
एक ऐतिहासिक अध्ययन कक्ष में रखे गए चर्मपत्र के स्क्रॉल में अवकलनीय मैनिफोल्ड्स का विस्तृत विवरण दिया गया है।

अवकलनीय मैनिफोल्ड (ज्यामिति)

अवकलनीय मैनिफोल्ड एक स्थलीय स्थान है जो स्थानीय रूप से यूक्लिडियन स्थान के समान होता है, जिससे कैलकुलस का अनुप्रयोग संभव हो पाता है। प्रत्येक बिंदु का एक ऐसा पड़ोस होता है जो [latex]mathbb{R}^n[/latex] के एक खुले उपसमुच्चय के समरूप होता है। ये स्थानीय निर्देशांक प्रणालियाँ, जिन्हें चार्ट कहा जाता है, सुगम संक्रमण फलनों द्वारा संबंधित होती हैं, जो एक एटलस का निर्माण करती हैं और मैनिफोल्ड की अवकलनीय संरचना को परिभाषित करती हैं।
एक लकड़ी की मेज जिस पर बहीखाता, कलम और ब्लैकबोर्ड रखा है, जिस पर बूलियन बीजगणित के लॉजिक गेट्स दिखाए गए हैं।

डिजिटल लॉजिक में बूलियन बीजगणित

डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स, जॉर्ज बूले द्वारा प्रतिपादित गणितीय तर्क प्रणाली, बूलियन बीजगणित पर आधारित है। इसमें आमतौर पर दो मान, 0 और 1 (या असत्य और सत्य), और तीन मूलभूत संक्रियाएँ उपयोग की जाती हैं: AND (संयोजन), OR (वियोजन), और NOT (निषेध)। ये संक्रियाएँ सीधे उन लॉजिक गेट्स से संबंधित होती हैं जो सभी डिजिटल परिपथों के मूलभूत घटक होते हैं।
एक गणितज्ञ का कार्यक्षेत्र जो स्थलीय आरेखों और विरूपण उदाहरणों के साथ समरूपता को प्रदर्शित करता है।

होमियोमॉर्फिज्म

होमियोमॉर्फिज्म दो टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच एक सतत फलन होता है जिसका एक सतत व्युत्क्रम फलन भी होता है। दो टोपोलॉजिकल स्पेस को होमियोमॉर्फिक कहा जाता है यदि ऐसा फलन मौजूद हो। टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से, होमियोमॉर्फिक स्पेस एक समान होते हैं। यह अवधारणा इस विचार को समाहित करती है कि किसी वस्तु को बिना फाड़े या चिपकाए खींचा, मोड़ा या विकृत किया जा सकता है, जैसे कॉफी मग को डोनट में बदलना।
सिग्नल प्रोसेसिंग प्रयोगशाला असंतुलन बिंदुओं पर फूरियर श्रृंखला के व्यवहार का विश्लेषण कर रही है।

गिब्स घटना

गिब्स घटना, जंप असंतुलन पर फूरियर श्रृंखला के व्यवहार का वर्णन करती है। श्रृंखला के आंशिक योग जंप के पास एक अतिवृद्धि दर्शाते हैं, जो अधिक पद जोड़ने पर भी गायब नहीं होती। यह अतिवृद्धि श्रृंखला में पदों की संख्या की परवाह किए बिना, जंप की ऊँचाई के लगभग 9% के स्थिर मान पर अभिसरित होती है।
एक पेशेवर कार्यालय के माहौल में सांख्यिकीविद गॉस-मार्कोव प्रमेय पर चर्चा कर रहे हैं।

गॉस-मार्कोव प्रमेय

यह प्रमेय बताता है कि एक रैखिक प्रतिगमन मॉडल में, जहाँ त्रुटियों का माध्य शून्य होता है, वे असंबंधित होती हैं और उनका प्रसरण स्थिर होता है (समरूपता), साधारण न्यूनतम वर्ग (ओएलएस) अनुमानक सर्वश्रेष्ठ रैखिक निष्पक्ष अनुमानक (ब्लू) होता है। 'सर्वश्रेष्ठ' का अर्थ है कि प्रतिगमन गुणांकों के सभी रैखिक निष्पक्ष अनुमानकों में इसका प्रसरण न्यूनतम होता है, जिससे यह सबसे सटीक होता है।
Mathematician demonstrating Brouwer Fixed-Point Theorem with a crumpled map in an office.

ब्राउवर स्थिर-बिंदु प्रमेय

यह प्रमेय बताता है कि किसी भी सतत फलन [latex]f[/latex] के लिए जो एक संकुचित उत्तल समुच्चय को स्वयं पर परावर्तित करता है, एक बिंदु [latex]x_0[/latex] होता है जैसे कि [latex]f(x_0) = x_0[/latex]। इस बिंदु को स्थिर बिंदु कहा जाता है। सरल शब्दों में, यदि आप किसी देश का नक्शा लें, उसे मोड़ें और देश की सीमाओं के भीतर रखें, तो नक्शे पर हमेशा कम से कम एक बिंदु ऐसा होगा जो उसके वास्तविक स्थान के ठीक ऊपर होगा।
Quality control engineer analyzing process variations in manufacturing statistics.

सामान्य और विशेष कारण भिन्नता

A core principle of SPC distinguishing between two types of process variation. Common cause variation is the inherent, random "noise" within a process that is stable and predictable. Special cause variation, or assignable cause, stems from external, identifiable sources, indicating process instability. The goal is to eliminate special causes and reduce common cause variation.
Shewhart Control Chart for process monitoring in quality control.

शेवर्ट नियंत्रण चार्ट

एसपीसी में समय के साथ किसी प्रक्रिया चर की निगरानी के लिए उपयोग किया जाने वाला एक ग्राफिकल टूल। यह प्रक्रिया औसत का प्रतिनिधित्व करने वाली केंद्रीय रेखा (सीएल) और ऊपरी (यूसीएल) और निचली (एलसीएल) नियंत्रण सीमाओं के बीच डेटा बिंदुओं को प्लॉट करता है। ये सीमाएँ आमतौर पर माध्य से तीन मानक विचलन (μ ± 3 σ) पर निर्धारित की जाती हैं, जो अपेक्षित सामान्य कारण भिन्नता की सीमा को परिभाषित करती हैं।

(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)

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