सांख्यिकीय परीक्षण गुणवत्ता और विनिर्माण में निर्णय लेने के लिए वस्तुनिष्ठ साक्ष्य प्रदान करने का एकमात्र तरीका हैं। वे प्रक्रियाओं में भिन्नताओं की पहचान करने और यादृच्छिक उतार-चढ़ाव तथा वास्तविक समस्याओं के बीच अंतर करने में मदद करते हैं। इंजीनियरिंग में, आँकड़े सिस्टम के प्रदर्शन में पैटर्न, आउटलायर और विफलता के स्रोतों की पहचान करने में मदद करते हैं, जिससे डेटा-आधारित निर्णय सुनिश्चित होते हैं। प्रायोगिक परिणामों का कठोर विश्लेषण करके, इंजीनियर उत्पाद डिज़ाइनों और विनिर्माण प्रक्रियाओं को सत्यापित कर सकते हैं, कार्यान्वयन से पहले संभावित समस्याओं का पता लगा सकते हैं। यह व्यवस्थित दृष्टिकोण अप्रत्याशित विफलताओं के जोखिम को कम करता है और अंतरराष्ट्रीय सुरक्षा मानकों के साथ विश्वसनीयता और अनुपालन सुनिश्चित करके समग्र सुरक्षा को बढ़ाता है।
यह पोस्ट विनिर्माण में उपयोग किए जाने वाले मुख्य सांख्यिकीय परीक्षणों की समीक्षा करेगी और कुल गुणवत्ता प्रबंधन (कुल गुणवत्ता प्रबंधन).
ध्यान दें: चूंकि वे इंजीनियरिंग, अनुसंधान और विज्ञान से भी संबंधित हैं, इसलिए निम्नलिखित 2 सांख्यिकीय परीक्षण और विश्लेषण
- सहसंबंध विश्लेषण: दो चरों के बीच संबंध की शक्ति और दिशा को मापता है (उदाहरण के लिए, पियर्सन सहसंबंध गुणांक)।
- रिग्रेशन विश्लेषण: चरों के बीच संबंध की जांच करता है (उदाहरण के लिए, इनपुट कारक और प्रक्रिया आउटपुट), सरल रैखिक से लेकर बहु रिग्रेशन तक।
यहां शामिल नहीं हैं, बल्कि इंजीनियरिंग के लिए मुख्य 10 एल्गोरिदम के बारे में एक विशिष्ट लेख में हैं।
सामान्य वितरण परीक्षण
सांख्यिकीय परीक्षणों की दुनिया में, कई सामान्य सांख्यिकीय विधियाँ (t-परीक्षण, ANOVA, रैखिक प्रतिगमन, आदि) यह मानती हैं कि डेटा सामान्य रूप से/गाऊसी रूप से वितरित है (या कि अवशिष्ट/त्रुटियाँ सामान्य हैं)। इस धारणा का उल्लंघन करने से परिणाम अविश्वसनीय हो सकते हैं: p-मान भ्रामक हो सकते हैं, विश्वास अंतराल गलत हो सकते हैं, और टाइप I/II त्रुटियों का जोखिम बढ़ जाता है। ध्यान दें कि कुछ परीक्षण, जैसे 1-तरफ़ा ANOVA, गैर-सामान्य वितरण को यथोचित रूप से अच्छी तरह से संभाल सकते हैं।
ध्यान दें: यदि आपका डेटा सामान्य नहीं है, तो नीचे वास्तविक जीवन के मामले देखें, आपको गैर-पैरामीट्रिक परीक्षणों (जैसे मैन-व्हिटनी यू परीक्षण या क्रुस्कल-वालिस परीक्षण) का उपयोग करने की आवश्यकता हो सकती है, जो सामान्यता नहीं मानते हैं, या अपने डेटा को रूपांतरित करने की आवश्यकता हो सकती है, जो इस पोस्ट के दायरे से बाहर हैं।
हालांकि इसके लिए कई सांख्यिकीय परीक्षण मौजूद हैं, हम यहां शापिरो-विल्क परीक्षण का विस्तृत विवरण देंगे, जो विशेष रूप से छोटे नमूना आकारों के लिए प्रसिद्ध है, आमतौर पर n < 50, लेकिन इसे 2000 तक उपयोग किया जा सकता है।
आपकी जानकारी के लिए, अन्य सामान्य वितरण परीक्षण:
- कोलमोगोरोव-स्मिरनोव (K-S) परीक्षण (लिलिफोर्स सुधार के साथ): बड़े नमूना आकारों के साथ बेहतर काम करता है, जबकि शापिरो-विल्क की तुलना में कम संवेदनशील होता है, खासकर छोटे डेटासेट के लिए
- एंडरसन-डार्लिंग परीक्षण: सभी नमूना आकारों के लिए अच्छा है और वितरण की पूंछ (चरम) में अधिक संवेदनशीलता रखता है, जबकि चरम सीमाओं में सामान्यता से विचलन का पता लगाने के लिए अधिक शक्तिशाली है।
शापिरो-विल्क सामान्य वितरण परीक्षण कैसे करें
1. शापिरो-विल्क परीक्षण सांख्यिकी (W) की गणना करें: [latex]W = \frac{\left(\sum_{i=1}^{n} a_i x_{(i)}\right)^2}{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}[/latex] Note: as the calculation of the [latex]a_i[/latex] coefficients is nontrivial and generally requires a table or algorithm, which is why the Shapiro-Wilk test is nearly always computed by software such as R, Python’s SciPy, MS Excel add-ons or other dedicated softwares. मैन्युअल गणना के लिए, यह पृष्ठ provides all the [latex]a_i[/latex] coefficients and p-value for samples up to 50. W का मान 0 और 1 के बीच होता है (W = 1: पूर्ण सामान्यता। W < 1: यह 1 से जितना दूर होगा, आपका डेटा उतना ही कम सामान्य होगा)। 2. W पर्याप्त नहीं है। यह विश्वास स्तर प्राप्त करने के लिए अपने संबंधित p-मान के साथ काम करता है। शापिरो-विल्क तालिका में, पर n नमूना आकार की पंक्ति में, अपने गणना किए गए W के सबसे करीब का मान देखें और उसका संबंधित शीर्ष पर p-मान | अंश भारित क्रमित नमूना मानों के वर्ग योग का प्रतिनिधित्व करता है। भाजक नमूना माध्य से वर्ग विचलनों का योग है (अर्थात, नमूना विचरण, (n-1) द्वारा स्केल किया गया)। [latex]x_{(i)}[/latex] = the i-th order statistic (i.e., the i-th smallest value in the sample) [latex]x_i[/latex] = the i-th observed value [latex]\bar{x}[/latex] = the sample mean [latex]a_i[/latex] = constants (weights) calculated from the mean, variances, and covariances of the order statistics of a sample from a standard normal distribution ((N(0,1))), and depend only on n (sample size). n = नमूना आकार |
3. परिणाम: यदि p-मान चुने हुए अल्फा-स्तर (उदाहरण 0.05) से अधिक है, तो सांख्यिकीय प्रमाण है कि परीक्षण किया गया डेटा सामान्य रूप से वितरित है। | |
सामान्य वितरण परीक्षण के लिए, अक्सर एक संख्यात्मक विधि को हेनरी की रेखा, Q-Q प्लॉट या हिस्टोग्राम जैसी ग्राफिकल विधि के साथ मिलाने की सलाह दी जाती है:
गैर-सामान्य वितरणों पर ध्यान दें!
जबकि सामान्य/गाऊसी वितरण सबसे सामान्य मामला है, इसे स्वचालित रूप से नहीं मानना चाहिए। दैनिक प्रति-उदाहरणों में शामिल हैं:
- व्यक्तियों के बीच धन और आय का वितरण। यह एक पैरेटो (शक्ति नियम) वितरण का अनुसरण करता है, जिसमें अत्यंत धनी व्यक्तियों की एक लंबी पूंछ होती है।
- किसी देश में शहरों की जनसंख्या का आकार जिपफ के नियम (शक्ति नियम) का अनुसरण करता है, जिसमें कुछ बहुत बड़े शहर और कई छोटे कस्बे होते हैं।
- भूकंप की तीव्रता और आवृत्ति एक पावर लॉ/गुटेनबर्ग-रिचर वितरण के अनुरूप होती है: छोटे भूकंप आम हैं, बड़े भूकंप दुर्लभ हैं।
- वित्तीय बाजारों में दैनिक मूल्य परिवर्तन या प्रतिफल: मोटे-पूंछ वाले/भारी-पूंछ वाले वितरण, गॉसियन नहीं; सामान्य वितरण द्वारा अनुमानित की तुलना में बड़े विचलन अधिक बार होते हैं।
- भाषा में शब्दों की आवृत्ति, जैसा कि ऊपर शहर की जनसंख्या में देखा गया है, ज़िपफ के नियम (शक्ति नियम) का अनुसरण करती है: कुछ शब्द अक्सर उपयोग किए जाते हैं, अधिकांश शब्द दुर्लभ होते हैं।
- इंटरनेट ट्रैफिक/वेबसाइट की लोकप्रियता: पावर लॉ/लॉन्ग टेल: कुछ साइटों पर लाखों हिट्स होते हैं, जबकि अधिकांश पर बहुत कम होते हैं।
- कंप्यूटर सिस्टम पर फ़ाइल का आकार: लॉग-नॉर्मल या पावर लॉ के अनुसार होता है, जिसमें कुछ बहुत बड़ी फ़ाइलें और कई छोटी फ़ाइलें होती हैं।
- मानव जीवनकाल/दीर्घायु: दाईं ओर झुका हुआ (इसके साथ मॉडल किया जा सकता है) वाइबुल या गोम्पर्ट्ज़ वितरण), सामान्य नहीं; अधिक लोग वृद्धावस्था में मरते हैं।
- सोशल नेटवर्क कनेक्शन एक शक्ति नियम का पालन करते हैं: कुछ उपयोगकर्ताओं के पास कई कनेक्शन होते हैं; अधिकांश के पास कुछ ही होते हैं।
इनमें से अधिकांश की विशेषता "कुछ बड़े, कई छोटे" है, जो पावर लॉ, हेवी टेल्स, एक्सपोनेंशियल या लॉग-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन की पहचान है, न कि गॉसियन के सममित आकार की।
टी-टेस्ट (स्टूडेंट का टी-टेस्ट)
विलियम सीली गोसेट द्वारा 1908 में "स्टूडेंट" उपनाम से विकसित टी-टेस्ट (जिसे "स्टूडेंट का टी" भी कहा जाता है) एक सांख्यिकीय परीक्षण है जिसका उपयोग तब किया जाता है जब नमूने का आकार छोटा हो और जनसंख्या का विचरण अज्ञात हो। दो जनसंख्याओं के माध्यों की तुलना पर केंद्रित यह परीक्षण विनिर्माण क्षेत्र में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले परीक्षणों में से एक है।
उद्देश्य: टी-टेस्ट इंजीनियरों और गुणवत्ता विशेषज्ञों को यह निर्धारित करने में मदद करता है कि क्या दो समूहों के माध्यों के बीच या नमूना माध्य और ज्ञात मानक के बीच सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण अंतर है। इसका उपयोग आमतौर पर परिकल्पना परीक्षण में यह मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है कि क्या प्रक्रिया परिवर्तनों या उत्पाद संशोधनों का कोई प्रभाव पड़ा है। नेतृत्व किया वास्तविक सुधारों या अंतरों के लिए, जो संयोग से अपेक्षित से परे हों।
उद्योग में व्यावहारिक उदाहरण:
- ऑटोमोबाइल निर्माण में, गुणवत्ता में निरंतरता सुनिश्चित करने के लिए दो अलग-अलग आपूर्तिकर्ताओं से प्राप्त स्टील की तन्यता शक्ति की तुलना करने के लिए टी-टेस्ट का उपयोग किया जा सकता है।
- फार्मास्यूटिकल्स में, टी-टेस्ट का उपयोग यह विश्लेषण करने के लिए किया जाता है कि क्या एक नई उत्पादन प्रक्रिया से प्राप्त गोलियों का औसत वजन मानक से काफी अलग है।
- इलेक्ट्रॉनिक्स में, इंजीनियर यह सत्यापित करने के लिए टी-टेस्ट का उपयोग कर सकते हैं कि क्या डिज़ाइन परिवर्तन में एक circuit board इसके परिणामस्वरूप विद्युत प्रतिरोध में मापने योग्य सुधार होता है।
छात्र के टी-टेस्ट को कैसे करें
टी-टेस्ट के कई प्रकार होते हैं; यहां दिया गया उदाहरण तथाकथित "दो-नमूना टी-टेस्ट" के "अयुग्मित" संस्करण पर केंद्रित होगा, जिसमें दो अलग-अलग उत्पादन बैचों के नमूनों की तुलना की जाएगी।
- अपनी शून्य और वैकल्पिक परिकल्पनाएँ बताइए; इस उदाहरण में “माध्यों में कोई अंतर नहीं है” बनाम “माध्यों में अंतर है”।
- तुलना किए जा रहे दो उत्पादन बैचों से अपना डेटा एकत्र करें और गणना करें
- the 2 sample means [latex]\bar{X} = \frac{1}{n_1} \sum_{i=1}^{n_1} X_i[/latex] and [latex]\bar{Y} = \frac{1}{n_2} \sum_{j=1}^{n_2} Y_j[/latex]
- Calculate the 2 sample variances: [latex]S_X^2 = \frac{1}{n_1-1} \sum_{i=1}^{n_1} (X_i – \bar{X})^2[/latex] and [latex]S_Y^2 = \frac{1}{n_2-1} \sum_{j=1}^{n_2} (Y_j – \bar{Y})^2[/latex]
- नमूना आकार।
- परीक्षण सांख्यिकी की गणना करें। हालांकि यह विधि मानती है कि दोनों नमूने स्वतंत्र हैं और दोनों नमूने सामान्य रूप से वितरित जनसंख्या से हैं, फिर भी दो स्थितियाँ हैं:
- यदि समान प्रसरण मान लिए जाएं (“pooled” t-test;): Pooled variance: [latex]S_p^2 = \frac{ (n_1-1)S_X^2 + (n_2-1)S_Y^2 }{ n_1 + n_2 – 2 }[/latex]
Test statistic: [latex]t = \frac{ \bar{X} – \bar{Y} }{ S_p \sqrt{ \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} } }[/latex] - यदि असमान प्रसरण (Welch’s t-test): Test statistic: [latex]t = \frac{ \bar{X} – \bar{Y} }{ \sqrt{ \frac{S_X^2}{n_1} + \frac{S_Y^2}{n_2} } }[/latex] Degrees of freedom (approximate, Welch-Satterthwaite): [latex]df = \frac{\left( \frac{S_X^2}{n_1} + \frac{S_Y^2}{n_2} \right)^2}{ \frac{ (S_X^2 / n_1)^2 }{ n_1 – 1 } + \frac{ (S_Y^2 / n_2)^2 }{ n_2 – 1 } }[/latex]
- यदि समान प्रसरण मान लिए जाएं (“pooled” t-test;): Pooled variance: [latex]S_p^2 = \frac{ (n_1-1)S_X^2 + (n_2-1)S_Y^2 }{ n_1 + n_2 – 2 }[/latex]
- Use the calculated ( t ) and degrees of freedom ([latex]n_1+n_2-2[/latex] for equal variances, or the Welch formula) to look up or compute the p-value from the t-distribution (depending on whether it’s a one-tailed or two-tailed test).
- परिणाम: चुने गए आत्मविश्वास स्तर और स्वतंत्रता की डिग्री के आधार पर सांख्यिकीय सारणियों से प्राप्त महत्वपूर्ण t-मान के साथ परिकलित t-मान की तुलना करें; वैकल्पिक रूप से, p-मान के लिए सॉफ़्टवेयर का उपयोग करें। यदि t-सांख्यिकी महत्वपूर्ण मान से अधिक है या p-मान आपके निर्धारित सीमा (आमतौर पर 0.05) से कम है, तो शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करें।
से लिंक करें टी-टेस्ट महत्वपूर्ण मान तालिका
एफ-परीक्षण
सांख्यिकीविद् रोनाल्ड ए. फिशर द्वारा 20वीं शताब्दी के आरंभ में प्रस्तुत एफ-परीक्षण का उपयोग दो डेटा सेटों के बीच भिन्नता (विचरण) की तुलना करने और यह आकलन करने के लिए किया जाता है कि क्या उनके जनसंख्या विचरण में महत्वपूर्ण अंतर है। गुणवत्ता और इंजीनियरिंग में, यह अक्सर यह निर्धारित करने में सहायक होता है कि क्या प्रक्रिया में परिवर्तन या विभिन्न मशीनें सुसंगत परिणाम देती हैं या क्या नई विधियाँ उत्पाद की भिन्नता को प्रभावित करती हैं। अक्सर यह बड़े पैमाने पर तुलना करने के लिए टी-टेस्ट और एनोवा लागू करने से पहले का एक प्रारंभिक चरण होता है।
उद्देश्य: एफ-टेस्ट का उपयोग यह पुष्टि करने के लिए किया जाता है कि क्या दो प्रक्रियाओं या नमूनों में भिन्नता का स्तर समान है, जो गुणवत्ता नियंत्रण निर्णयों और प्रक्रिया सुधारों में सहायक होता है। यह इंजीनियरों को यह पहचानने में मदद करता है कि क्या परिवर्तन (जैसे, नई मशीनें, आपूर्तिकर्ता या सामग्री) उत्पाद की स्थिरता या गुणवत्ता को प्रभावित करते हैं।
उद्योग के उदाहरण
- विनिर्माण: दो अलग-अलग मशीनों द्वारा उत्पादित पुर्जों के आयामी अंतरों की तुलना करना ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि दोनों मशीनें गुणवत्ता मानकों के भीतर लगातार उत्पादन कर रही हैं।
- आपूर्तिकर्ता मूल्यांकन: दो अलग-अलग आपूर्तिकर्ताओं से प्राप्त कच्चे माल की गुणवत्ता में भिन्नता की तुलना करके यह तय करना कि कौन सा आपूर्तिकर्ता अधिक सुसंगत गुणवत्ता प्रदान करता है।
- गुणवत्ता सुधार: यह परीक्षण करना कि क्या किसी प्रक्रिया में सुधार (जैसे कि एक नई अंशांकन विधि) ने पुरानी विधि की तुलना में अंतिम उत्पाद के वजन में भिन्नता को कम किया है।
एफ-टेस्ट कैसे करें
- नमूना डेटा के दो सेट एकत्र करें (उदाहरण के लिए, प्रक्रिया A और प्रक्रिया B से प्राप्त माप)।
- प्रत्येक नमूना समूह A और B के लिए विचरण की गणना करें।
- F-मान प्राप्त करने के लिए बड़े विचरण को छोटे विचरण से विभाजित करें।
- परिणाम: इस F-मान की तुलना नमूना आकारों और वांछित विश्वास स्तर के आधार पर F-वितरण तालिका से प्राप्त महत्वपूर्ण मान से करें; यदि परिकलित F-मान अधिक है, तो प्रसरण में महत्वपूर्ण अंतर है। सांख्यिकीय परीक्षणों, जैसे कि प्रसरण अनुपात परीक्षणों में, प्रत्येक समूह से संबंधित स्वतंत्रता की डिग्री (DOF) नमूनों की संख्या में से एक घटाने पर प्राप्त होती है (ध्यान दें कि ANOVA परिणाम तुलना के लिए यह भिन्न होता है)।
एफ-वितरण तालिका: लिंक एफ-वितरण तालिका up to 15×15 DOF (and online F critical calculator for bigger DOF)
प्रसरण का विश्लेषण (एनोवा)
ऊपर वर्णित एफ-परीक्षण व्यापक रूप से किसी भी सांख्यिकीय परीक्षण को संदर्भित करता है जो एफ-वितरण का उपयोग करता है और दो या दो से अधिक समूहों के बीच भिन्नताओं या भिन्नताओं के अनुपातों की तुलना करने के लिए उपयोग किया जाता है, जबकि एनोवा (ANOVA) एक प्रकार का परीक्षण है जो तीन या दो से अधिक समूहों के माध्यों की तुलना यह देखने के लिए करता है कि क्या उनमें से कम से कम एक में महत्वपूर्ण अंतर है। एनोवा परीक्षण को भी 1920 के दशक में रोनाल्ड फिशर द्वारा कृषि प्रयोगों के लिए एक सांख्यिकीय उपकरण के रूप में विकसित किया गया था।
उद्देश्य: विचरण विश्लेषण (ANOVA) का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि तीन या दो से अधिक स्वतंत्र समूहों के माध्यों के बीच सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण अंतर हैं या नहीं। गुणवत्ता, इंजीनियरिंग और विशेष रूप से प्रयोगों का डिज़ाइन (DOE)यह पहचानने में मदद करता है कि कौन से कारक या प्रक्रियाएं उत्पाद के प्रदर्शन या उत्पादन पर महत्वपूर्ण प्रभाव डालती हैं, जिससे मजबूत निर्णय लेने और प्रक्रिया में सुधार करने में सहायता मिलती है।
उदाहरण:
- फार्मास्युटिकल उत्पादन में, एनोवा (ANOVA) किसी दवा की प्रभावकारिता पर विभिन्न निर्माण प्रक्रियाओं के प्रभावों की तुलना करने में मदद कर सकता है।
- इलेक्ट्रॉनिक्स में, इसका उपयोग यह जांचने के लिए किया जाता है कि क्या सर्किट बोर्ड की विफलता दरों में भिन्नता कच्चे माल के विभिन्न बैचों के कारण है।
संक्षेप में ANOVA कैसे करें
1. उन समूहों या उपचारों को परिभाषित करें जिनकी आप तुलना करना चाहते हैं और प्रत्येक समूह से डेटा एकत्र करें। गणना करें
2. इन मानों का उपयोग करके एफ-सांख्यिकी (दाईं ओर देखें) की गणना करें, जो समूहों के बीच भिन्नता और समूहों के भीतर भिन्नता का अनुपात है। 3. एफ-सांख्यिकी की तुलना एफ-वितरण तालिका से चुने गए सार्थकता स्तर (जैसे 0.05) पर एक महत्वपूर्ण मान से करें। 4. परिणाम: यदि एफ-सांख्यिकी महत्वपूर्ण मान से अधिक है, तो आप यह निष्कर्ष निकालते हैं कि समूह माध्यों के बीच महत्वपूर्ण अंतर हैं। | एफ-सांख्यिकी: F इसके अनुरूप है समूहों के बीच माध्य वर्ग (एमएसबी) को विभाजित किया गया समूहों के भीतर माध्य वर्ग (MSW) व्यवहारिक रूप से: [latex]F = \frac{ \frac{SSB}{k-1} }{ \frac{SSW}{N-k} }[/latex] एसएसबी = समूहों के बीच वर्गों का योग |
ची-स्क्वायर परीक्षण
कार्ल पियर्सन द्वारा 1900 में प्रस्तुत ची-स्क्वायर परीक्षण ने श्रेणीबद्ध डेटा में अपेक्षित और प्रेक्षित आवृत्तियों के बीच महत्वपूर्ण अंतर है या नहीं, यह निर्धारित करने की विधि प्रदान करके सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षण में क्रांति ला दी। गुणवत्ता और इंजीनियरिंग में, यह आकलन करने में मदद करता है कि किसी प्रक्रिया या उत्पाद की विशेषताओं में विचलन संयोगवश होता है या किसी प्रणालीगत समस्या का संकेत देता है।
उद्देश्य: ची-स्क्वायर टेस्ट यह जांचता है कि गुणवत्ता मापन में देखे गए और अपेक्षित परिणामों के बीच अंतर यादृच्छिक भिन्नता के कारण है या किसी विशिष्ट समस्या का संकेत देता है जिसे संबोधित करने की आवश्यकता है।
उद्योग में व्यावहारिक उदाहरण
- विनिर्माण दोष: यह जांचना कि विभिन्न शिफ्टों या मशीनों में दोषपूर्ण उत्पादों का वितरण एकसमान है या नहीं, और क्या कुछ शिफ्टों में दोष दर काफी अधिक है।
- आपूर्तिकर्ता की गुणवत्ता: कई आपूर्तिकर्ताओं से घटकों के गुणवत्ता प्रदर्शन (जैसे, उत्तीर्ण/अनुत्तीर्ण दर) की तुलना करके यह निर्धारित करना कि क्या किसी एक आपूर्तिकर्ता के पुर्जों के सांख्यिकीय रूप से विफल होने की संभावना अधिक है।
- ग्राहक शिकायतें: यह विश्लेषण करना कि क्या ग्राहक शिकायतों के प्रकार या आवृत्ति पूरे वर्ष में बेतरतीब ढंग से वितरित होती हैं, या विशिष्ट समय, उत्पादों या क्षेत्रों से जुड़ी होती हैं।
ची-स्क्वायर टेस्ट कैसे करें
- प्रेक्षित डेटा एकत्र करें और शून्य परिकल्पना के अंतर्गत प्रत्येक श्रेणी के लिए अपेक्षित आवृत्तियों का निर्धारण करें।
- Use the Chi-Square formula: Χ² = Σ[(O – E)² / E] where O is observed, E is expected.
- उपयुक्त डिग्री ऑफ़ फ़्रीडम के साथ काई-स्क्वायर तालिका से एक महत्वपूर्ण मान के विरुद्ध परिकलित काई-स्क्वायर मान की तुलना करें।
- परिणाम: यदि मान तालिका मान से अधिक है, तो यह निष्कर्ष निकालें कि सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण अंतर है।
ची-स्क्वायर का पूर्ण उदाहरण: पासे की निष्पक्षता
| मैं | अरे | नहीं | हाय-हे | (हाय-हे)2 |
| 1 | 5 | 10 | -5 | 25 |
| 2 | 8 | 10 | -2 | 4 |
| 3 | 9 | 10 | -1 | 1 |
| 4 | 8 | 10 | -2 | 4 |
| 5 | 10 | 10 | 0 | 0 |
| 6 | 20 | 10 | 10 | 100 |
| जोड़ | 134 | |||
यह पूरा उदाहरण यहां से लिया गया है विकिपीडिया का ची-स्क्वायर लेख.
अनुभव: एक छह-पक्षीय पासे को 60 बार उछाला जाता है। पासे पर 1, 2, 3, 4, 5 और 6 आने की संख्या क्रमशः 5, 8, 9, 8, 10 और 20 है।
सवाल: is the die biased, according to the Pearson’s chi-squared test at a significance level of 95% and/or 99%?
शून्य परिकल्पना यह है कि पासा निष्पक्ष है, इसलिए प्रत्येक संख्या के समान संख्या में आने की उम्मीद है, इस मामले में, 60/एन = 10.
परिणामों को दाईं ओर दिखाए गए अनुसार सारणीबद्ध किया जा सकता है:
| स्वतंत्रता की कोटियां | प्रायिकता क्रांतिक मान से कम है | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 0.90 | 0.95 | 0.975 | 0.99 | 0.999 | |
| 5 | 9.236 | 11.070 | 12.833 | 15.086 | 20.515 |
ची-स्क्वायर वितरण तालिका के ऊपरी-पूंछ महत्वपूर्ण मानों को देखते हुए (तालिका का लिंक ऊपर दिए गए निर्देश में दिया गया है), सारणीबद्ध मान प्रत्येक चर के वर्ग के योग को अपेक्षित परिणामों से विभाजित करने को दर्शाता है।
वर्तमान उदाहरण के लिए, इसका अर्थ है χ2=25/10+4/10+1/10+4/10+0/10+100/10=13.4
परीक्षण का निष्कर्ष: यह 13.4 प्रयोगात्मक परिणाम है जिसकी असंभावना (एक निष्पक्ष पासे के साथ) का हम अनुमान लगाना चाहते हैं, एक महत्व या विश्वास के बीच 97.5% और 99%
प्रक्रिया क्षमता (Cp, Cpk, Pp, Ppk)
ये 4 अनुपात स्वयं में कोई सांख्यिकीय परीक्षण नहीं हैं, बल्कि ये आकलन करते हैं कि कोई प्रक्रिया विनिर्देशों को कितनी अच्छी तरह पूरा करती है, इस प्रकार विनिर्माण में गुणवत्ता मानकों को बनाए रखने और सुधारने के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण बन जाते हैं।
Process capability analysis originated in the early 20th century alongside the rise of statistical quality control in manufacturing, pioneered by figures like Walter Shewhart. Its methods evolved through the growth of सिक्स सिग्मा and Total Quality Management (TQM) in the late 20th century as a cornerstone of modern quality engineering.
उद्देश्य: प्रक्रिया क्षमता विश्लेषण यह आकलन करता है कि कोई प्रक्रिया निर्दिष्ट सीमाओं (सहनशीलता) के भीतर कितनी अच्छी तरह से उत्पादन कर सकती है। यह डिज़ाइन विनिर्देशों के सापेक्ष प्रक्रिया की परिवर्तनशीलता को मापता है और दोषपूर्ण उत्पादों के उत्पादन की संभावना निर्धारित करता है। यह विश्लेषण प्रक्रिया सुधार के अवसरों की पहचान करने में मदद करता है और यह सुनिश्चित करता है कि उत्पाद लगातार ग्राहकों की आवश्यकताओं को पूरा करते हैं।
उद्योग में Cp, Cpk और सांख्यिकीय परीक्षण
- ऑटोमोटिव विनिर्माण: सांख्यिकीय परीक्षणों और इन 4 अनुपातों का उपयोग यह जांचने के लिए किया जाता है कि इंजन पिस्टन का व्यास लगातार सख्त सहनशीलता सीमाओं के भीतर रहता है या नहीं, जिससे अनुकूलता सुनिश्चित होती है और इंजन की विफलताएं कम होती हैं।
- दवा उद्योग: इसका उपयोग यह सत्यापित करने के लिए किया जाता है कि गोलियों या कैप्सूलों का भरा हुआ वजन लगातार नियामक और गुणवत्ता मानकों को पूरा करता है, जिससे कम या अधिक मात्रा में दवा लेने का जोखिम कम हो जाता है।
- सेमीकंडक्टर manufacturing: employed to monitor the thickness of wafer coatings, ensuring reliability and performance in microchip production.
Cp, Cpk, Pp और Ppk की गणना कैसे करें
सीपी: प्रक्रिया क्षमता
| [latex]Cp = \frac{USL – LSL}{6\sigma}[/latex] | USL = ऊपरी विनिर्देश सीमा एलएसएल = निचली विशिष्टता सीमा σ = मानक विचलन (आमतौर पर उपसमूह के भीतर भिन्नता से अनुमानित) |
सीपीके: प्रक्रिया क्षमता सूचकांक
[latex]Cpk = \min\left(\frac{USL – \mu}{3\sigma}, \frac{\mu – LSL}{3\sigma}\right)[/latex] | [latex]\mu[/latex] = process mean |
पृष्ठ: प्रक्रिया प्रदर्शन
[latex]Pp = \frac{USL – LSL}{6s}[/latex] | [latex]s[/latex] = overall standard deviation (includes both within and between subgroup variations; used over a longer period) |
पीपीके: प्रक्रिया प्रदर्शन सूचकांक
[latex]Ppk = \min\left(\frac{USL – \bar{x}}{3s}, \frac{\bar{x} – LSL}{3s}\right)[/latex] | [latex]\bar{x}[/latex] = overall mean |
Cp, Cpk, Pp, Ppk मानों के साथ निष्कर्ष कैसे निकालें
- Cp, Pp: यदि >1 है, तो प्रक्रिया विनिर्देशों को पूरा करने की क्षमता रखती है; 1.33 या उससे अधिक मानों को आम तौर पर सक्षम माना जाता है, यह आपके उद्योग और आपके सटीक अनुप्रयोग की गंभीरता पर निर्भर करता है।
- Cpk, Ppk: ये दर्शाते हैं कि प्रक्रिया विनिर्देशों के भीतर कितनी केंद्रित है; Cpk/Ppk, Cp/Pp के जितने करीब होंगे, प्रक्रिया उतनी ही अधिक केंद्रित होगी।
- If Cpk or Ppk <1, a significant portion of output is likely outside the specification; process improvement is needed.
- उच्च सूचकांक अधिक सक्षम (और आमतौर पर, उच्च गुणवत्ता वाली) प्रक्रिया को दर्शाता है।
निष्कर्ष और संभावित समस्याएं
सांख्यिकीय परीक्षण डेटा विश्लेषण में शक्तिशाली उपकरण हैं, लेकिन उनके उपयोग के लिए मजबूत सैद्धांतिक समझ और महत्वपूर्ण वास्तविक दुनिया के निर्णय और अनुकूलन की आवश्यकता होती है, जो केवल सांख्यिकीय सॉफ्टवेयर स्थापना या क्यूएमएस नियमों से कहीं अधिक है।
- धारणाओं औरसही परीक्षा का चयन करनाप्रत्येक सांख्यिकीय परीक्षण में कुछ अंतर्निहित मान्यताएँ होती हैं (जैसे, डेटा की सामान्यता, समान प्रसरण, प्रेक्षणों की स्वतंत्रता)। यदि इन मान्यताओं का उल्लंघन होता है या एक अनुपयुक्त परीक्षण चुना गया, परीक्षण के परिणाम अमान्य या भ्रामक हो सकते हैं।
- वास्तविक दुनिया की अव्यवस्था और बीव्यावसायिक संदर्भ मायने रखता हैऔद्योगिक डेटा अक्सर परीक्षण की मान्यताओं का उल्लंघन करते हैं (जैसे, गैर-सामान्य वितरण, स्वसहसंबंध)। पाठ्यपुस्तक परीक्षणों को आँख बंद करके लागू करने से पूरी तरह से भ्रामक विश्लेषण हो सकते हैं।
- डेटा गुणवत्ता संबंधी समस्याएं: औद्योगिक सांख्यिकीय परीक्षणों में माप त्रुटियां, आउटलायर्स और अनुपलब्ध डेटा आम हैं और परीक्षण से पहले इनका समाधान और दस्तावेजीकरण किया जाना चाहिए।
For product design so as for quality, put your effort where needed: “Sometimes, results are statistically significant but have negligible practical impact, or vice versa”
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अंतर्राष्ट्रीय मानक
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प्रयुक्त शब्दों की शब्दावली
Analysis of Variance (ANOVA): यह एक सांख्यिकीय विधि है जिसका उपयोग तीन या दो से अधिक स्वतंत्र समूहों के माध्यों के बीच महत्वपूर्ण अंतर निर्धारित करने के लिए किया जाता है, जिसमें समूहों के भीतर और बीच भिन्नता का विश्लेषण किया जाता है। यह एक आश्रित चर पर एक या अधिक कारकों के प्रभाव का आकलन करता है।
Degrees Of Freedom (DOF): किसी यांत्रिक प्रणाली या सांख्यिकीय मॉडल के विन्यास को परिभाषित करने वाले स्वतंत्र मापदंडों की संख्या का एक माप, जो यह दर्शाता है कि कोई प्रणाली बाधाओं का उल्लंघन किए बिना कितने तरीकों से गति कर सकती है या बदल सकती है।
Design of Experiments (DOE): एक प्रतिक्रिया चर पर कई चरों के प्रभावों का मूल्यांकन करने के लिए नियंत्रित परीक्षणों की योजना बनाने, संचालन करने, विश्लेषण करने और व्याख्या करने की एक व्यवस्थित विधि, जो प्रक्रियाओं या उत्पादों के अनुकूलन और समझ को सक्षम बनाती है।
Design of Experiment (DOE): एक प्रतिक्रिया चर पर कई चरों के प्रभावों का मूल्यांकन करने के लिए नियंत्रित परीक्षणों की योजना बनाने, संचालित करने और उनका विश्लेषण करने की एक व्यवस्थित विधि, जो इष्टतम स्थितियों और कारकों के बीच बातचीत की पहचान को सुविधाजनक बनाती है।
Process Capability Index (Cpk): एक सांख्यिकीय माप जो यह निर्धारित करता है कि कोई प्रक्रिया निर्दिष्ट सीमाओं के भीतर कितनी अच्छी तरह आउटपुट उत्पन्न कर सकती है, प्रक्रिया माध्य और निकटतम विनिर्देश सीमा के बीच संबंध को दर्शाता है, जिसे प्रक्रिया परिवर्तनशीलता के लिए समायोजित किया गया है।
Process Performance Index (Ppk): यह एक सांख्यिकीय माप है जो यह निर्धारित करता है कि कोई प्रक्रिया विनिर्देश सीमाओं को कितनी अच्छी तरह पूरा करती है। इसकी गणना प्रक्रिया के माध्य और मानक विचलन का उपयोग करके की जाती है। यह प्रक्रिया की परिभाषित सीमाओं के भीतर उत्पादन करने की क्षमता को दर्शाता है, जिसमें परिवर्तनशीलता और केंद्रण दोनों को ध्यान में रखा जाता है।
Quality Management System (QMS): प्रक्रियाओं, कार्यविधियों और जिम्मेदारियों की एक संरचित प्रणाली जिसका उद्देश्य उत्पादों और सेवाओं में सुसंगत गुणवत्ता सुनिश्चित करना, निरंतर सुधार को सुविधाजनक बनाना और ग्राहक तथा नियामक आवश्यकताओं को पूरा करना है।
Solid-State Battery (SSB): यह एक ऐसी बैटरी तकनीक है जो तरल या जेल इलेक्ट्रोलाइट्स के बजाय ठोस इलेक्ट्रोलाइट्स का उपयोग करती है, जिससे उच्च ऊर्जा घनत्व, बेहतर सुरक्षा और लंबी जीवन अवधि मिलती है। पारंपरिक बैटरियों की तुलना में इसमें आमतौर पर बेहतर तापीय स्थिरता होती है और रिसाव या दहन का खतरा कम होता है।
Total quality management (TQM): एक प्रबंधन दृष्टिकोण जो ग्राहक संतुष्टि के माध्यम से दीर्घकालिक सफलता पर केंद्रित है, जिसमें गुणवत्ता और प्रदर्शन को बढ़ाने के लिए प्रक्रियाओं, उत्पादों और सेवाओं में निरंतर सुधार में संगठन के सभी सदस्यों को शामिल किया जाता है।
