Systemmodellierungssprache (SysML)

Der Satz von Euklid besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Der klassische Beweis erfolgt durch Widerspruch. Er setzt eine endliche Liste aller Primzahlen \(p_1, p_2, \dots, p_n\) voraus. Anschließend betrachtet er die Zahl \(P = p_1 p_2 \cdots p_n + 1\). Diese Zahl \(P\) ist entweder eine Primzahl oder nicht. Falls sie eine Primzahl ist, handelt es sich um eine neue Primzahl, die nicht in der Liste enthalten ist.

Eine rationale Zahl ist jede Zahl, die als Bruch oder Quotient \(p/q\) dargestellt werden kann, wobei \(p\) eine ganze Zahl und \(q\) eine ganze Zahl ungleich null ist. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit \(\mathbb{Q}\) bezeichnet. Dieses grundlegende Konzept erweitert die ganzen Zahlen um Brüche und ermöglicht so die Darstellung von Teilen eines Ganzen.

Eine partielle Differentialgleichung (PDE) ist eine Gleichung, die Beziehungen zwischen den verschiedenen partiellen Ableitungen einer multivariablen Funktion herstellt. Die Funktion wird oft als die Unbekannte bezeichnet, und eine PDE beschreibt eine Beziehung zwischen dieser unbekannten Funktion und ihren Ableitungen. Im Gegensatz zu gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODEs), die Funktionen einer einzigen Variablen betreffen, sind PDEs grundlegend für die Modellierung mehrdimensionaler Systeme.

Eine Technik zum Lösen partieller Differentialgleichungen (PDE) erster und hyperbolischer zweiter Ordnung. Die Methode reduziert eine PDE auf eine Familie gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODEs) entlang bestimmter Kurven, sogenannter „Charakteristiken“. Entlang dieser Kurven vereinfacht sich die PDE, sodass die Lösung durch Integration des Systems der ODEs gefunden werden kann. Diese Methode ist besonders leistungsfähig bei Problemen im Zusammenhang mit Transport und Wellenausbreitung.

Eine direkte Folgerung aus dem Fundamentalsatz der Algebra ist, dass jedes nichtkonstante Polynom mit reellen Koeffizienten in ein Produkt aus linearen Faktoren und irreduziblen quadratischen Faktoren mit reellen Koeffizienten faktorisiert werden kann. Die linearen Faktoren entsprechen den reellen Wurzeln, während die irreduziblen quadratischen Faktoren Paaren komplex konjugierter Wurzeln \(a \pm bi\) entsprechen.

Eine transzendente Zahl ist eine reelle oder komplexe Zahl, die nicht algebraisch ist, d. h. sie ist keine Nullstelle einer von Null verschiedenen Polynomgleichung mit ganzzahligen (oder rationalen) Koeffizienten. Alle transzendenten Zahlen sind irrational, aber nicht alle irrationalen Zahlen sind transzendent (z. B. ist \(\sqrt{2}\) irrational, aber algebraisch, da sie eine Nullstelle von \(x^2 - 2 = 0\) ist).

Obwohl die Menge aller rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) dicht ist, d. h. zwischen je zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegt immer eine weitere rationale Zahl, ist sie abzählbar unendlich. Das bedeutet, dass jeder rationalen Zahl eineindeutig eine der natürlichen Zahlen \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}\) zugeordnet werden kann. Dieses überraschende Ergebnis zeigt, dass \(\mathbb{Q}\) dieselbe Kardinalität wie \(\mathbb{N}\) und \(\mathbb{Z}\) besitzt.

Ein Schlüsselergebnis der Zahlentheorie besagt, dass, wenn eine Primzahl \(p\) das Produkt zweier ganzer Zahlen \(a\) und \(b\) teilt, \(p\) mindestens eine dieser Zahlen teilen muss. Das heißt, wenn \(p | ab\), dann ist \(p | a\) oder \(p | b\). Diese Eigenschaft ist wesentlich für den Beweis der Eindeutigkeit im Fundamentalsatz der Arithmetik.

Eine irrationale Zahl ist jede reelle Zahl, die sich nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen, p/q, darstellen lässt, wobei p und q ungleich null sind. Anders ausgedrückt: Es handelt sich um reelle Zahlen, die nicht rational sind. Ihre Dezimaldarstellung bricht nie ab und bildet kein periodisches Muster.

Eine reelle Zahl ist genau dann rational, wenn ihre Dezimaldarstellung periodisch ist. Das bedeutet, dass sich die Ziffernfolge nach einer endlichen Anzahl von Ziffern unendlich oft wiederholt. Dieser sich wiederholende Teil wird Periode genannt. Zum Beispiel: 1/3 = 0,333... (Periode: 3) und 3/7 = 0,428571428571... (Periode: 428571). Abbrechende Dezimalzahlen sind ein Sonderfall; hier ist die Periode 0.

Der Satz von Bézout ist eine grundlegende Aussage in der Schnittpunkttheorie. Er besagt, dass die Anzahl der Schnittpunkte zweier ebener algebraischer Kurven mit den Graden \(m\) und \(n\) genau \(mn\) ist, vorausgesetzt, man arbeitet in einer projektiven Ebene über einem algebraisch abgeschlossenen Körper, zählt Punkte mit Multiplizität und schließt Punkte im Unendlichen ein, an denen sich parallele Asymptoten treffen.

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nichtkonstante Polynom einer Variablen mit komplexen Koeffizienten mindestens eine komplexe Nullstelle besitzt. Dies garantiert, dass der Körper der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist, d. h. Polynomgleichungen, die mit reellen Zahlen nicht lösbar sind, lassen sich mit komplexen Zahlen lösen. Für ein Polynom \(p(z) = a_n z^n + \dots + a_1 z + a_0\) existiert ein \(z_0 ∈ \mathbb{C}\) mit \(p(z_0) = 0\).

Dieser Satz besagt, dass jede ganze Zahl größer als 1 entweder eine Primzahl ist oder sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen lässt, unabhängig von der Reihenfolge der Faktoren. Beispiel: \(1200 = 2^4 \times 3^1 \times 5^2\). Diese eindeutige Faktorisierung ist ein Eckpfeiler der Zahlentheorie und liefert eine grundlegende multiplikative Struktur für ganze Zahlen.

Die kanonische Darstellung oder Standardform einer positiven ganzen Zahl \(n\) ist ihre eindeutige Primfaktorzerlegung, geschrieben als Produkt von Primzahlpotenzen in aufsteigender Reihenfolge. Für jede ganze Zahl \(n > 1\) lässt sie sich als \(n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}\) schreiben, wobei \(p_1 < p_2 < \cdots < p_k\) Primzahlen und die Exponenten \(a_i\) positive ganze Zahlen sind.

Ein grundlegender Existenz- und Eindeutigkeitssatz für partielle Differentialgleichungen im Zusammenhang mit Cauchy-Anfangswertproblemen. Er besagt, dass, wenn die partielle Differentialgleichung und die Anfangsbedingungen „analytisch“ sind (durch konvergente Potenzreihen darstellbar), eine eindeutige analytische Lösung in einer Umgebung der Anfangsfläche existiert. Er bietet eine lokale Existenzgarantie, berücksichtigt jedoch nicht das globale Verhalten oder die Wohlgestelltheit.