Linguaggio di modellazione dei sistemi (SysML)

Il teorema di Euclide afferma che esistono infiniti numeri primi. La dimostrazione classica è per assurdo. Presuppone una lista finita di tutti i numeri primi \(p_1, p_2, \dots, p_n\). Considera quindi il numero \(P = p_1 p_2 \cdots p_n + 1\). Questo numero \(P\) è primo o non è primo. Se è primo, è un nuovo numero primo non presente nella lista.

Un numero razionale è un numero che può essere espresso come frazione o quoziente \(p/q\), dove \(p\) è un numero intero e \(q\) è un numero intero diverso da zero. L'insieme di tutti i numeri razionali è indicato con \(\mathbb{Q}\). Questo concetto fondamentale estende gli interi alle frazioni, consentendo la rappresentazione di parti di un intero.

Un'equazione differenziale parziale (PDE) è un'equazione che impone relazioni tra le varie derivate parziali di una funzione multivariabile. La funzione è spesso chiamata incognita e una PDE descrive una relazione tra questa funzione incognita e le sue derivate. A differenza delle equazioni differenziali ordinarie (ODE), che riguardano funzioni di una sola variabile, le PDE sono fondamentali per modellare sistemi multidimensionali.

Una tecnica per risolvere equazioni differenziali parziali (EDP) del primo ordine e del secondo ordine iperbolico. Il metodo riduce un'EDP a una famiglia di equazioni differenziali ordinarie (EOD) lungo curve specifiche chiamate "caratteristiche". Lungo queste curve, l'EDP si semplifica, consentendo di trovare la soluzione integrando il sistema di EOD. È particolarmente efficace per problemi che coinvolgono il trasporto e la propagazione delle onde.

Un corollario diretto del teorema fondamentale dell'algebra è che qualsiasi polinomio non costante a coefficienti reali può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari e fattori quadratici irriducibili, tutti a coefficienti reali. I fattori lineari corrispondono alle radici reali, mentre i fattori quadratici irriducibili corrispondono a coppie di radici complesse coniugate \(a \pm bi\).

Un numero trascendente è un numero reale o complesso che non è algebrico, ovvero non è radice di alcuna equazione polinomiale diversa da zero con coefficienti interi (o razionali). Tutti i numeri trascendenti sono irrazionali, ma non tutti i numeri irrazionali sono trascendenti (ad esempio, \(\sqrt{2}\) è irrazionale ma algebrico, poiché è radice di \(x^2 - 2 = 0\)).

Nonostante sia denso, ovvero tra due numeri razionali distinti ce n'è un altro, l'insieme di tutti i numeri razionali \(\mathbb{Q}\) è infinito numerabile. Ciò significa che tutti i numeri razionali possono essere posti in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}\). Questo sorprendente risultato dimostra che \(\mathbb{Q}\) ha la stessa cardinalità di \(\mathbb{N}\) e \(\mathbb{Z}\).

Un risultato chiave nella teoria dei numeri afferma che se un numero primo \(p\) divide il prodotto di due interi \(a\) e \(b\), allora \(p\) deve dividere almeno uno di quegli interi. Cioè, se \(p | ab\), allora \(p | a\) o \(p | b\). Questa proprietà è essenziale per dimostrare la parte sull'unicità del Teorema Fondamentale dell'Aritmetica.

Un numero irrazionale è un numero reale che non può essere espresso come rapporto tra due numeri interi, p/q, dove p è un numero intero e q è un numero intero diverso da zero. In altre parole, sono numeri reali non razionali. La loro rappresentazione decimale non termina mai e non segue mai uno schema che si ripete in modo permanente.

Un numero reale è razionale se e solo se la sua rappresentazione decimale è periodica. Ciò significa che la sequenza di cifre ripete indefinitamente una sequenza finita di cifre. Questa parte ripetitiva è chiamata ripetizione. Ad esempio, \(1/3 = 0,333...\) (la ripetizione è '3') e \(3/7 = 0,428571428571...\) (la ripetizione è '428571'). I numeri decimali terminali sono un caso speciale in cui la ripetizione è '0'.

Il teorema di Bézout è un enunciato fondamentale nella teoria dell'intersezione. Afferma che il numero di punti di intersezione di due curve algebriche piane di grado m e n è esattamente mn, a condizione che si lavori in un piano proiettivo su un campo algebricamente chiuso, si contino i punti con molteplicità e si includano i punti all'infinito in cui si incontrano asintoti paralleli.

Il teorema fondamentale dell'algebra afferma che ogni polinomio non costante di una variabile a coefficienti complessi ha almeno una radice complessa. Ciò garantisce che il campo dei numeri complessi sia algebricamente chiuso, ovvero che le equazioni polinomiali che non possono essere risolte in numeri reali possano essere risolte in numeri complessi. Per un polinomio \(p(z) = a_n z^n + \dots + a_1 z + a_0\), esiste un \(z_0 in \mathbb{C}\) tale che \(p(z_0) = 0\).

Questo teorema afferma che ogni numero intero maggiore di 1 è un numero primo o può essere rappresentato in modo univoco come prodotto di numeri primi, indipendentemente dall'ordine dei fattori. Ad esempio, \(1200 = 2^4 \x 3^1 \x 5^2\). Questa fattorizzazione univoca è un pilastro della teoria dei numeri, in quanto fornisce una struttura moltiplicativa fondamentale per gli interi.

La rappresentazione canonica, o forma standard, di un intero positivo \(n\) è la sua unica scomposizione in fattori primi scritta come prodotto di potenze di numeri primi con i numeri primi in ordine crescente. Per qualsiasi intero \(n > 1\), può essere scritta come \(n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}\), dove \(p_1 < p_2 < \cdots < p_k\) sono numeri primi e gli esponenti \(a_i\) sono numeri interi positivi.

Un teorema fondamentale di esistenza e unicità per equazioni differenziali parziali associate a problemi di Cauchy ai valori iniziali. Afferma che se l'equazione differenziale alle derivate parziali e le condizioni iniziali sono "analitiche" (rappresentabili da serie di potenze convergenti), allora esiste un'unica soluzione analitica in un intorno della superficie iniziale. Fornisce una garanzia di esistenza locale, ma non affronta il comportamento globale o la buona posizione.