Linguagem de Modelagem de Sistemas (SysML)

O teorema de Euclides afirma que existem infinitos números primos. A demonstração clássica é por contradição. Ela assume uma lista finita de todos os primos (p_1, p_2, dots, p_n). Em seguida, considera o número (P = p_1 p_2 cdots p_n + 1). Esse número (P) é primo ou não. Se for primo, é um novo primo que não está na lista.

Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como uma fração ou quociente (p/q), onde (p) é um número inteiro e (q) é um número inteiro diferente de zero. O conjunto de todos os números racionais é denotado por (mathbb{Q}). Este conceito fundamental estende os números inteiros para incluir frações, permitindo a representação de partes de um todo.

Uma equação diferencial parcial (EDP) é uma equação que impõe relações entre as diversas derivadas parciais de uma função multivariável. A função é frequentemente chamada de incógnita, e uma EDP descreve uma relação entre essa função desconhecida e suas derivadas. Ao contrário das equações diferenciais ordinárias (EDOs), que envolvem funções de uma única variável, as EDPs são fundamentais para a modelagem de sistemas multidimensionais.

Uma técnica para resolver equações diferenciais parciais (EDP) de primeira ordem e de segunda ordem hiperbólica. O método reduz uma EDP a uma família de equações diferenciais ordinárias (EDOs) ao longo de curvas específicas chamadas 'características'. Ao longo dessas curvas, a EDP se simplifica, permitindo que a solução seja encontrada pela integração do sistema de EDOs. É particularmente eficaz para problemas envolvendo transporte e propagação de ondas.

Um corolário direto do teorema fundamental da álgebra é que qualquer polinômio não constante com coeficientes reais pode ser fatorado em um produto de fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis, todos com coeficientes reais. Os fatores lineares correspondem às raízes reais, enquanto os fatores quadráticos irredutíveis correspondem a pares de raízes complexas conjugadas (a pm bi).

Um número transcendental é um número real ou complexo que não é algébrico, ou seja, não é raiz de nenhuma equação polinomial não nula com coeficientes inteiros (ou racionais). Todos os números transcendentais são irracionais, mas nem todos os números irracionais são transcendentais (por exemplo, (sqrt{2}) é irracional, mas algébrico, pois é raiz de (x^2 - 2 = 0)).

Apesar de ser denso, ou seja, entre quaisquer dois números racionais distintos existe outro, o conjunto de todos os números racionais (mathbb{Q}) é enumerável e infinito. Isso significa que todos os números racionais podem ser colocados em correspondência biunívoca com os números naturais (mathbb{N} = {1, 2, 3, ...}). Esse resultado surpreendente demonstra que (mathbb{Q}) tem a mesma cardinalidade que (mathbb{N}) e (mathbb{Z}).

Um resultado fundamental na teoria dos números afirma que se um número primo (p) divide o produto de dois inteiros (a) e (b), então (p) deve dividir pelo menos um desses inteiros. Ou seja, se (p | a), então (p | a) ou (p | b). Essa propriedade é essencial para demonstrar a unicidade, parte do Teorema Fundamental da Aritmética.

Um número irracional é qualquer número real que não pode ser expresso como a razão entre dois inteiros, (p/q), onde (p) é um inteiro e (q) é um inteiro diferente de zero. Em outras palavras, são números reais que não são racionais. Sua representação decimal nunca termina e nunca entra em um padrão de repetição permanente.

Um número real é racional se, e somente se, sua representação decimal for periódica. Isso significa que a sequência de dígitos eventualmente repete uma sequência finita de dígitos indefinidamente. Essa parte que se repete é chamada de período. Por exemplo, (1/3 = 0,333...) (o período é '3') e (3/7 = 0,428571428571...) (o período é '428571'). Os decimais finitos são um caso especial em que o período é '0'.

O teorema de Bézout é uma afirmação fundamental na teoria da intersecção. Ele afirma que o número de pontos de intersecção de duas curvas algébricas planas de graus (m) e (n) é exatamente (mn), desde que se trabalhe em um plano projetivo sobre um corpo algebricamente fechado, se contem os pontos com multiplicidade e se incluam os pontos no infinito onde as assíntotas paralelas se encontram.

O teorema fundamental da álgebra afirma que todo polinômio não constante de uma única variável com coeficientes complexos possui pelo menos uma raiz complexa. Isso garante que o corpo dos números complexos é algebricamente fechado, o que significa que equações polinomiais que não podem ser resolvidas em números reais podem ser resolvidas em números complexos. Para um polinômio (p(z) = a_n z^n + dots + a_1 z + a_0), existe um (z_0 em mathbb{C}) tal que (p(z_0) = 0).

Este teorema afirma que todo número inteiro maior que 1 é ou um número primo ou pode ser representado de forma única como um produto de números primos, independentemente da ordem dos fatores. Por exemplo, (1200 = 2^4 times 3^1 times 5^2). Essa fatoração única é um pilar da teoria dos números, fornecendo uma estrutura multiplicativa fundamental para os números inteiros.

A representação canônica, ou forma padrão, de um inteiro positivo (n) é sua fatoração em primos única, escrita como um produto de potências de primos com os primos em ordem crescente. Para qualquer inteiro (n > 1), ele pode ser escrito como (n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} cdots p_k^{a_k}), onde (p_1 < p_2 < cdots < p_k) são números primos e os expoentes (a_i) são inteiros positivos.

Um teorema fundamental de existência e unicidade para equações diferenciais parciais associadas a problemas de valor inicial de Cauchy. Ele afirma que, se a EDP e as condições iniciais são 'analíticas' (podem ser representadas por séries de potências convergentes), então existe uma solução analítica única em uma vizinhança da superfície inicial. O teorema fornece uma garantia de existência local, mas não aborda o comportamento global ou a boa definição do problema.