系統建模語言（SysML）

欧几里得定理指出素数有无穷多个。经典的证明方法是反证法。它假设存在一个有限的素数列表 \(p_1, p_2, \dots, p_n\)。然后考虑数 \(P = p_1 p_2 \cdots p_n + 1\)。这个数 \(P\) 要么是素数，要么不是素数。如果它是素数，那么它就是列表中没有的一个新的素数。

有理数是指任何可以表示为分数或商 \(p\)/\(q\) 的数，其中 \(p\) 为整数，\(q\) 为非零整数。所有有理数的集合记为 \(\mathbb{Q}\)。这一基本概念将整数扩展到包含分数，从而允许表示整体的一部分。

偏微分方程（PDE）是在一个多变量函数的各个偏导数之间建立关系的方程。函数通常被称为未知数，而偏微分方程则描述了未知函数与其导数之间的关系。与涉及单变量函数的常微分方程 (ODE) 不同，偏微分方程是多维系统建模的基础。

一种求解一阶和双曲二阶偏微分方程 (PDE) 的技术。该方法将偏微分方程 (PDE) 简化为一系列沿着特定曲线（称为“特征”）的常微分方程 (ODE)。沿着这些曲线，PDE 会简化，从而可以通过对 ODE 组进行积分来求得解。该方法对于涉及传输和波传播的问题尤其有效。

代数基本定理的一个直接推论是，任何非常数实系数多项式都可以分解为实系数的线性因子和不可约二次因子的乘积。线性因子对应于实根，而不可约二次因子对应于一对共轭复根 \(a \pm bi\)。

超越数是非代数数，也就是说，它不是任何非零整数（或有理数）系数多项式方程的根。所有超越数都是无理数，但并非所有无理数都是超越数（例如，\(\sqrt{2}\) 是无理数，但它是代数数，因为它是方程 \(x^2 - 2 = 0\) 的根）。

尽管有理数集 \(\mathbb{Q}\) 稠密（即任意两个不同的有理数之间都存在另一个有理数），但它却是可数无限的。这意味着所有有理数都可以与自然数集 \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}\) 一一对应。这一令人惊讶的结果表明，\(\mathbb{Q}\) 与 \(\mathbb{N}\) 和 \(\mathbb{Z}\) 具有相同的基数。

数论中的一个关键结论：如果素数 \(p\) 能整除两个整数 \(a\) 和 \(b\) 的乘积，则 \(p\) 必定能整除其中至少一个整数。也就是说，如果 \(p | ab\)，则 \(p | a\) 或 \(p | b\)。此性质对于证明算术基本定理中唯一性部分至关重要。

无理数是指任何不能表示为两个整数之比 p/q 的实数，其中 p 为整数，q 为非零整数。换句话说，它们是非有理数。它们的十进制表示永不终止，也不会进入无限循环。

一个实数是有理数当且仅当它的十进制表示是周期数。这意味着它的十进制数列最终会无限重复一个有限的数字序列。这个重复的部分称为循环节。例如，1/3 = 0.333...（循环节为 3）和 3/7 = 0.428571428571...（循环节为 428571）。有限小数是一种特殊情况，其循环节为 0。

贝祖定理是相交理论中的一个基本命题。它断言，如果在代数闭域上的射影平面中计算，计算重数点，并包含平行渐近线相交的无穷远处点，则两个 m 次和 n 次平面代数曲线的交点数恰好为 mn 个。

代数基本定理指出，每个非常数单变量复系数多项式至少有一个复根。这保证了复数域是代数封闭的，这意味着无法用实数求解的多项式方程可以用复数求解。对于多项式 \(p(z) = a_n z^n + \dots + a_1 z + a_0\)，存在 \(z_0 ∈ \mathbb{C}\)，使得 \(p(z_0) = 0\)。

该定理指出，所有大于 1 的整数要么是质数，要么可以唯一地表示为质数的乘积，无论因数的顺序如何。例如，1200 = 2^4 \times 3^1 \times 5^2\。这种独特的因式分解是数论的基石，为整数提供了基本的乘法结构。

正整数 \(n\) 的规范表示或标准形式是其唯一的质因数分解，可以写成质数幂的乘积，其中质数按递增顺序排列。对于任何整数 \(n > 1\)，它可以写成 \(n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}\)，其中 \(p_1 < p_2 < \cdots < p_k\) 是质数，指数 \(a_i\) 是正整数。

与柯西初值问题相关的偏微分方程的基本存在唯一性定理。该定理指出，如果偏微分方程和初始条件是“解析的”（可以用收敛幂级数表示），则在初始曲面的邻域中存在唯一解析解。它提供了局部存在性的保证，但并未解决全局行为或适定性问题。