Langage de modélisation des systèmes (SysML)

Le théorème d'Euclide affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers. La démonstration classique repose sur l'absurde. Elle suppose une liste finie de tous les nombres premiers \(p_1, p_2, \dots, p_n\). On considère ensuite le nombre \(P = p_1 p_2 \cdots p_n + 1\). Ce nombre \(P\) est soit premier, soit non premier. S'il est premier, il s'agit d'un nouveau nombre premier qui ne figure pas dans la liste.

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'exprimer sous forme de fraction ou de quotient \(p/q\), où \(p\) est un entier et \(q\) un entier non nul. L'ensemble de tous les nombres rationnels est noté \(\mathbb{Q}\). Ce concept fondamental étend les entiers aux fractions, permettant ainsi de représenter des parties d'un tout.

Une équation différentielle partielle (EDP) est une équation qui impose des relations entre les différentes dérivées partielles d'une fonction multivariable. La fonction est souvent appelée l'inconnue, et une EDP décrit une relation entre cette fonction inconnue et ses dérivées. Contrairement aux équations différentielles ordinaires (EDO), qui impliquent des fonctions d'une seule variable, les EDP sont fondamentales pour modéliser des systèmes multidimensionnels.

Technique de résolution d'équations aux dérivées partielles (EDP) du premier ordre et du second ordre hyperboliques. Cette méthode réduit une EDP à une famille d'équations différentielles ordinaires (EDO) suivant des courbes spécifiques appelées « caractéristiques ». Le long de ces courbes, l'EDP se simplifie, permettant de trouver la solution par intégration du système d'EDO. Elle est particulièrement performante pour les problèmes de transport et de propagation d'ondes.

Un corollaire direct du théorème fondamental de l'algèbre est que tout polynôme non constant à coefficients réels peut être factorisé en un produit de facteurs linéaires et de facteurs quadratiques irréductibles, tous à coefficients réels. Les facteurs linéaires correspondent aux racines réelles, tandis que les facteurs quadratiques irréductibles correspondent à des paires de racines complexes conjuguées \(a \pm bi\).

Un nombre transcendant est un nombre réel ou complexe qui n'est pas algébrique, c'est-à-dire qu'il n'est racine d'aucune équation polynomiale non nulle à coefficients entiers (ou rationnels). Tous les nombres transcendants sont irrationnels, mais l'inverse n'est pas vrai (par exemple, √2 est irrationnel mais algébrique, car il est racine de l'équation x² - 2 = 0).

Bien que dense (c'est-à-dire qu'entre deux nombres rationnels distincts quelconques il en existe un autre), l'ensemble des nombres rationnels \(\mathbb{Q}\) est dénombrable. Cela signifie que chaque nombre rationnel correspond à un nombre naturel \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}\). Ce résultat surprenant démontre que \(\mathbb{Q}\) a la même cardinalité que \(\mathbb{N}\) et \(\mathbb{Z}\).

Un résultat clé de la théorie des nombres stipule que si un nombre premier \(p\) divise le produit de deux entiers \(a\) et \(b\), alors \(p\) doit diviser au moins l'un de ces entiers. Autrement dit, si \(p | ab\), alors \(p | a\) ou \(p | b\). Cette propriété est essentielle pour démontrer l'unicité du théorème fondamental de l'arithmétique.

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui ne peut être exprimé comme le rapport de deux entiers, \(p\)/\(q\), où \(p\) est un entier et \(q\) un entier non nul. Autrement dit, ce sont des nombres réels qui ne sont pas rationnels. Leur développement décimal est infini et ne présente jamais de séquence répétitive permanente.

Un nombre réel est rationnel si et seulement si sa représentation décimale est périodique. Cela signifie que la suite de ses chiffres se répète indéfiniment selon une séquence finie. Cette partie répétitive est appelée la période. Par exemple, 1/3 = 0,333... (période : 3) et 3/7 = 0,428571428571... (période : 428571). Les nombres décimaux finis constituent un cas particulier où la période est 0.

Le théorème de Bézout est un énoncé fondamental en théorie des intersections. Il affirme que le nombre de points d'intersection de deux courbes algébriques planes de degrés \(m\) et \(n\) est exactement \(mn\), à condition de travailler dans un plan projectif sur un corps algébriquement clos, de compter les points avec multiplicité et d'inclure les points à l'infini où se rencontrent des asymptotes parallèles.

Le théorème fondamental de l'algèbre stipule que tout polynôme non constant à une variable et à coefficients complexes possède au moins une racine complexe. Ceci garantit que le corps des nombres complexes est algébriquement clos, ce qui signifie que les équations polynomiales insolubles dans l'ensemble des nombres réels peuvent être résolues dans l'ensemble des nombres complexes. Pour un polynôme \(p(z) = a_n z^n + \dots + a_1 z + a_0\), il existe un \(z_0 ∈ \mathbb{C}\) tel que \(p(z_0) = 0\).

Ce théorème stipule que tout entier supérieur à 1 est soit un nombre premier, soit peut être représenté de manière unique comme un produit de nombres premiers, quel que soit l'ordre des facteurs. Par exemple, \(1200 = 2^4 \times 3^1 \times 5^2\). Cette factorisation unique est un élément fondamental de la théorie des nombres, fournissant une structure multiplicative fondamentale pour les entiers.

La représentation canonique, ou forme standard, d'un entier positif \(n\) est sa décomposition en facteurs premiers unique, écrite comme un produit de puissances de nombres premiers, ces derniers étant classés par ordre croissant. Pour tout entier \(n > 1\), on peut l'écrire sous la forme \(n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}\), où \(p_1 < p_2 < \cdots < p_k\) sont des nombres premiers et les exposants \(a_i\) sont des entiers positifs.

Théorème fondamental d'existence et d'unicité des équations aux dérivées partielles associées aux problèmes de Cauchy aux valeurs initiales. Il stipule que si l'EDP et les conditions initiales sont analytiques (représentables par des séries entières convergentes), alors une solution analytique unique existe au voisinage de la surface initiale. Il garantit l'existence locale, mais ne traite pas du comportement global ni de la bonne pose.