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Mohrscher Kreis für 3D-Spannung

1882-01-01
  • Christian Otto Mohr
Mohr's circles analysis in continuum mechanics for stress evaluation.

(Abbildung dient nur zur Veranschaulichung)

For a general three-dimensional state of Stress, the analysis is represented by three Mohr’s circles. These circles are drawn in the [latex]sigma_n – tau_n[/latex] plane using the three principal stresses ([latex]sigma_1, sigma_2, sigma_3[/latex]) as diameters. The largest circle, defined by [latex]sigma_1[/latex] and [latex]sigma_3[/latex], encloses the other two and determines the absolute maximum shear stress, [latex]tau_{abs max} = (sigma_1 – sigma_3)/2[/latex].

While the 2D Mohr’s circle is common, real-world stress states are three-dimensional. To analyze a 3D stress state, one first determines the three principal stresses, [latex]sigma_1 ge sigma_2 ge sigma_3[/latex], which are the eigenvalues of the 3×3 Cauchy-Spannungstensor.

The stress state ([latex]\sigma_n, \tau_n[/latex]) for any arbitrarily oriented plane at the point will lie within the shaded area bounded by these three circles. A crucial insight from this 3D representation is the determination of the absolute maximum shear stress. Unlike the 2D case where the maximum in-plane shear is the radius, the absolute maximum shear stress for a 3D state is always the radius of the largest circle, given by [latex]\tau_{abs max} = R_{max} = (\sigma_{max} – \sigma_{min})/2 = (\sigma_1 – \sigma_3)/2[/latex]. This value is fundamental for applying failure criteria like the Tresca yield criterion in a general 3D context, as it represents the true maximum shear stress experienced by the material at that point.

UNESCO Nomenclature: 2203
Klassische Mechanik

Typ

Abstraktes System

Störung

Inkremental

Verwendung

Weitverbreitete Verwendung

Vorläufer

  • Der erste Kreis wird zwischen [latex]sigma_1[/latex] und [latex]sigma_2[/latex] gezeichnet, der zweite zwischen [latex]sigma_2[/latex] und [latex]sigma_3[/latex] und der dritte, größte Kreis zwischen [latex]sigma_1[/latex] und [latex]sigma_3[/latex].
  • Eigenvalue analysis for 3×3 matrices
  • Mohr’s original 2D circle concept
  • Lamé’s stress ellipsoid concept

Anwendungen

  • Analyse komplexer Spannungszustände in mechanischen Bauteilen
  • Geomechanik zum Verständnis der Felsmechanik unter dreiachsiger Spannung
  • Auslegung dickwandiger Druckbehälter
  • Luft- und Raumfahrttechnik zur Analyse von Rumpf- und Flügelspannungen

Patente:

NA

Potenzielle Innovationsideen

  • Software zur numerischen Strömungsdynamik zur Visualisierung von Spannungen in Turbinenschaufeln
  • Finite-Elemente-Methode analysis (fea) post-processors with interactive 3d mohr’s circle visualization
  • Software zum Entwerfen von Tiefsee-Tauchbooten und zur Analyse von Rumpfspannungen
  • Medizinische Bildgebungssoftware, die 3D-Spannungszustände in Knochen und Gewebe berechnet und anzeigt
  • Erweiterte Materialmodelle für anisotrope Materialien (z. B. Holz, Verbundwerkstoffe) unter Einbeziehung von 3D-Spannungszuständen
  • seismic analysis tools for modeling stress changes in the earth’s crust
  • Virtual-Reality-Tools für die Ausbildung von Ingenieuren in komplexen 3D-Spannungsanalysen
  • Algorithmen zur Optimierung der Topologie von 3D-gedruckten Teilen unter komplexer Belastung
  • Vorhersagemodelle für Gebirgsschläge im Tiefbau
  • analysis tools for residual stresses in advanced manufacturing processes like additive Fertigung
Related to: 3D stress, Mohr’s circle, principal stresses, absolute maximum shear stress, cauchy stress tensor, triaxial stress, geomechanics, Festkörpermechanik, failure analysis, continuum mechanics.

Historischer Kontext

Mohrscher Kreis für 3D-Spannung

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1888

(wenn das Datum unbekannt oder nicht relevant ist, z. B. „Strömungsmechanik“, wird eine gerundete Schätzung seines bemerkenswerten Auftretens bereitgestellt)

10. Jahr Jubiläum

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