勾股定理

欧几里得几何中的一个基本定理指出，任何三角形的三个内角的度量之和总是等于两个直角，即 180 度。[latex]\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ[/latex]，这一性质是平行公设的直接结果，对于欧几里得平面内的所有三角形，无论其大小或形状如何，都是成立的。

直接证明是一种通过直接组合已确立的事实（通常是公理、定义和先前证明的定理）来证明给定陈述正确性的方法。要证明条件陈述 [latex]p → q（[/latex]），需假设 [latex]p[/latex] 为真，并运用推理规则证明 [latex]q[/latex] 也必然为真。.

归谬法，或称反证法，是一种间接证明的形式。它通过证明假设命题为假会导致逻辑矛盾，从而确立该命题的真理性。 要证明命题 [latex]p[/latex]，需假设其否定命题 [latex]\neg p[/latex]，并由此推导出矛盾，例如 [latex]q \land \neg q[/latex]，从而得出结论：[latex]p[/latex] 必然为真。.

这一原理也被称为不等分方法，它指出，如果位于两个平行平面之间的两个固体具有这样的性质：与两个给定平面平行的每个平面与它们相交的截面面积相等，那么这两个固体的体积相等。它提供了一种无需微积分即可计算复杂形状体积的强大方法。

毕达哥拉斯定理为笛卡尔坐标系中的距离公式提供了基础。 平面上两点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 之间的距离 d 由公式 d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) 给出。 该公式直接应用于直角三角形，其两条直角边分别是x坐标与y坐标的差值。.

这是数学史上一个著名的问题。1736 年，莱昂哈德-欧拉（Leonhard Euler）解决了这个问题，奠定了图论的基础，并预示了拓扑学的思想。这个问题问的是，哥尼斯堡市的七座桥是否可以在一次旅行中全部走完，而不需要折返两次，并且旅行的终点还是起点的同一陆地。

欧几里得第五公设，即平行公设，是定义欧几里得几何的公理：它指出，如果一条直线与另外两条直线相交，而其中一边的内角之和小于两个直角（[latex]\alpha + \beta < 180^\circ[/latex]），那么这两条直线最终会在这一边相交。这个公设保证了通过不在给定直线上的点的平行线是唯一的。

毕达哥拉斯三元组由三个正整数a、b和c构成，满足[latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex]。一个著名的例子是(3, 4, 5)。欧几里得公式是生成这类三元组的基本方法。 对于任意两个满足 [latex]m > n[/latex] 的正整数 m 和 n，公式 [latex]a = m^2 - n^2[/latex], [latex]b = 2mn[/latex], [latex]c = m^2 + n^2[/latex] 可生成毕达哥拉斯三元组。.

柏拉图实体是仅有的五个凸正多面体：正多面体具有全等的正多边形面，每个顶点上有相同数目的面相交。这五种实体是四面体（4 个面）、立方体（6 个面）、八面体（8 个面）、十二面体（12 个面）和二十面体（20 个面）。自古以来，人们一直在研究它们的对称性和特性。

√2是一个无理数，这意味着它无法表示为两个整数的比值 [latex]p/q[/latex]。 经典证明（常被归功于毕达哥拉斯学派）采用反证法：假设√2 = p/q（已化为最简形式），由此可推得p与q均为偶数，这与初始假设相矛盾。.

托勒密定理为三角学中的和差公式提供了优雅的几何证明。通过将四边形内接于圆（其中一条边作为直径），其边长可表示为内接角的正弦与余弦值。 应用该定理[latex]AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA[/latex]可直接得出恒等式如[latex]sin(alpha + beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta[/latex]。.

笛卡尔坐标系为欧几里得几何提供了代数模型。它使用一个或多个数字（或坐标）来唯一地确定空间中点的位置。在平面上，使用两条垂直线（x轴和y轴），从而可以用代数方程来描述几何形状。这种代数与几何的融合被称为解析几何。

数学归纳法是一种用于证明性质[latex]P(n)[/latex]对所有自然数[latex]n[/latex]成立的技术。它包含两个步骤： 基准情况，证明[latex]P(0)[/latex]或[latex]P(1)[/latex]成立；归纳步骤，证明若[latex]P(k)[/latex]对某个自然数[latex]k[/latex]成立（归纳假设），则[latex]P(k+1)[/latex]同样成立。.

二阶线性双曲偏微分方程，用于控制各种波的传播。最简单的形式是 [latex]\frac\{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 \nabla^2 u[/latex]，其中 [latex]u(\vec{x},t)[/latex] 是波的振幅，[latex]c[/latex] 是波速，[latex]\nabla^2[/latex] 是拉普拉斯算子。它是振动弦、声波和光波等现象的模型。