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一般化されたフックの法則

1678

Robert Hooke
Thomas Young
Augustin-Louis Cauchy

（画像はイメージです）

一般化されたフックの法則は構成方程式線形弾性材料の場合、ストレス tensor is linearly proportional to the strain tensor. The relationship is expressed as [latex]\sigma = C : \varepsilon[/latex], where [latex]\sigma[/latex] is the stress tensor, [latex]\varepsilon[/latex] is the strain tensor, and [latex]C[/latex] is the fourth-order stiffness tensor containing the material’s elastic constants.

ロバート・フックの1678年の法則（「張力に応じて力が働く」）は単純な一次元線形関係を記述していましたが、一般化されたフックの法則はこの原理を三次元に拡張しています。これは線形弾性理論の数学的基礎を形成しています。この関係は、応力テンソルの6つの独立した成分を微小ひずみテンソルの6つの独立した成分に結び付けます。これは、最も一般的な形式で81個の成分を含む4階テンソルである剛性テンソル[latex]C_{ijkl}[/latex]によって実現されます。

応力テンソルとひずみテンソルの対称性により、剛性テンソルの独立成分の数は 36 に減少します。さらに、ひずみエネルギー密度関数の存在を仮定すると、剛性テンソル自体が対称になり ([latex]C_{ijkl} = C_{klij}[/latex])、最も一般的な異方性材料の場合、独立弾性定数の数は 21 に減少します。対称性の度合いが高い材料の場合、この数はさらに減少します。すべての方向で同じ特性を持つ等方性材料の場合、ヤング率 (E) とポアソン比 (ν) など、2 つの独立弾性定数のみが必要です。この一般的なケースでは、法則が大幅に単純化され、ひずみから応力を直接計算したり、その逆を行ったりすることができます。この法則は、材料の弾性限界内でのみ有効です。この点を超えると、永久的な塑性変形が発生し、他の構成モデルが必要となる。

有限要素法（FEM）, 機械的特性, 力学, 応力腐食, 構造工学, 引張試験

UNESCO Nomenclature: 2208

機械工学

タイプ

物理法則

混乱

基礎

使用法

広く普及している

前駆物質

材料の弾性特性に関する考察
応力とひずみの概念の発展
ニュートンの運動法則

アプリケーション

有限要素法構造設計のための解析（FEA）ソフトウェア
ばね、梁、その他の弾性部品の設計
引張試験による材料特性評価
地震学を用いて、地球内部における弾性波の伝播をモデル化する。

特許:

潜在的なイノベーションのアイデア

programmable metamaterials with a spatially varying stiffness tensor for wave guiding
ai algorithms that design optimal anisotropic materials by tuning the components of the stiffness tensor
4Dプリンティング of objects that self-assemble into complex shapes based on pre-programmed elastic responses
advanced prosthetics with tunable stiffness to mimic natural limb movement
超音波 imaging techniques that map the stiffness tensor of biological tissues for cancer detection
self-reinforcing composites that locally increase their stiffness in response to high strain
haptic interfaces that accurately simulate the feel of anisotropic materials like wood or muscle tissue
architectural materials with designed anisotropy for passive, load-dependent shape adaptation

Related to: Hooke’s law, linear elasticity, 構成方程式, stress-strain relationship, stiffness tensor, Young’s modulus, Poisson’s ratio, isotropic material.

歴史的背景

Fluid mechanics experiment demonstrating hydrostatic pressure in a laboratory setting.

静水圧

静水圧とは、流体内の特定の点において、重力によって流体が平衡状態にあるときに及ぼす圧力のことです。流体の重量が上から下向きに作用するため、水面からの深さに比例して静水圧は増加します。式は [latex]p = rho gh[/latex] で、ここで [latex]rho[/latex] は流体の密度です。

17th-century laboratory measuring pressure with a manometer in fluid mechanics.

圧力の基本的な定義

圧力は、物体の表面に作用する垂直方向の力（[latex]F[/latex]）を、その力が作用する単位面積（[latex]A[/latex]）で割った値として定義されます。式は [latex]p = frac{F}{A}[/latex] です。圧力はスカラー量であり、大きさはありますが方向はありません。圧力のSI単位はパスカル（Pa）で、1平方メートルあたり1ニュートンに相当します。

Centrifuge in a laboratory demonstrating centrifugal force principles in classical mechanics.

遠心力

遠心力は、回転座標系で物体を観察した際に作用する慣性力、あるいは「見かけ上の」力です。回転軸から半径方向外側に向かって作用します。この力は基本的な相互作用ではなく、物体の慣性、つまり慣性系において直線運動を維持しようとする性質から生じます。

一般化されたフックの法則

Isaac Newton calculating gravitational forces in a historical laboratory setting.

ニュートンの万有引力の法則

この法則は、宇宙に存在するすべての粒子が、他のすべての粒子を、それらの質量の積に比例し、中心間の距離の二乗に反比例する力で引き付けることを述べています。式は [latex]F = G frac{m_1 m_2}{r^2}[/latex] で、[latex]G[/latex] は重力定数です。この法則は、地球力学と天体力学を統一しました。

Researcher demonstrating conservation of momentum in a physics laboratory with colliding carts.

運動量保存の法則

孤立系では、全運動量は一定に保たれます。孤立系とは、外部からの力が作用しない系のことです。この原理はニュートンの運動法則から導かれます。粒子の系では、正味の外力がゼロであれば、全運動量 [latex]vec{p}_{text{total}} = sum_{i} m_i vec{v}_i[/latex] は保存されます。これは衝突を解析する上で基本となります。

Wind tunnel setup with Pitot tube for measuring dynamic pressure in fluid mechanics.

動圧

動圧は、[latex]q[/latex]または[latex]Q[/latex]で表され、流体の単位体積あたりの運動エネルギーです。これは、[latex]q = frac{1}{2} rho u^2[/latex]という式で定義されます。ここで、[latex]rho[/latex]は局所的な流体密度、[latex]u[/latex]は流体速度です。この量は、流体運動によって生じる圧力を定量化するために、流体力学において基本的なものです。

Historical laboratory scene illustrating centrifugal force in classical mechanics.

遠心力の公式

角速度 [latex]boldsymbol{omega}[/latex] で回転する基準座標系において、原点からの位置ベクトル [latex]mathbf{r}[/latex] にある質量 [latex]m[/latex] の物体に作用する遠心力 [latex]mathbf{F}_{mathrm{cf}}[/latex] は、ベクトル式 [latex]mathbf{F}_{mathrm{cf}} = -m boldsymbol{omega} times (boldsymbol{omega} times mathbf{r})[/latex] で与えられます。この式は、力が回転軸に垂直で外向きであることを示しています。

1600

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Laboratory setup demonstrating Boyle's Law with a syringe and pressure gauge.

ボイルの法則

ボイルの法則は、一定量の理想気体を一定温度に保つと、圧力（P）と体積（V）は反比例の関係にあることを示しています。つまり、両者の積は定数（k）になります。数式で表すと、[latex]P propto frac{1}{V}[/latex] または [latex]PV = k[/latex] となります。

Hydraulic lift demonstrating Pascal's Law in fluid mechanics applications.

パスカルの法則

パスカルの法則、または流体圧力伝達の原理は、密閉された非圧縮性流体中の任意の点における圧力変化は、流体全体にわたって減衰することなく伝達されると述べています。この原理は流体力学の基礎であり、油圧システムでは力の増幅係数によって数学的に表現されます。[latex]frac{F_2}{A_2} = frac{F_1}{A_1}[/latex]。

Isaac Newton conducting spectroscopy experiments with prisms and light in a historical laboratory.

分光法

分光法とは、物質と電磁波との相互作用を、電磁波の波長または周波数の関数として研究する学問である。分光装置は、電磁波を波長に応じて分散させることでスペクトルを生成する。このスペクトルは、物質が電磁波をどのように吸収、放出、または散乱するかを明らかにし、物質の組成、構造、および物理的性質に関する情報を提供する。

Isaac Newton studying classical mechanics in a historical setting.

ニュートンの運動法則

古典力学の基礎となる3つの物理法則。第一法則（慣性の法則）は、物体は外部からの正味の力が作用しない限り、静止状態または等速運動を続けると述べている。第二法則は、力を質量と加速度の積として定量化する[latex]vec{F} = mvec{a}[/latex]。第三法則は、すべての作用には、それと等しく反対向きの反作用が存在すると述べている。

Viscometer in a fluid mechanics laboratory for viscosity measurement.

ニュートンの粘性法則

ニュートン流体のせん断応力は、せん断ひずみの速度に正比例します。この線形関係は、ニュートンの粘性法則[latex]tau = mu frac{du}{dy}[/latex]で定義されます。ここで、[latex]tau[/latex]はせん断応力、[latex]mu[/latex]は動粘度（比例定数）、[latex]frac{du}{dy}[/latex]はせん断速度または速度勾配です。

Aircraft wing demonstrating Bernoulli's principle in fluid mechanics for lift generation.

ベルヌーイの原理

ベルヌーイの原理は、非粘性流体の場合、流体の速度が増加すると、圧力または位置エネルギーが同時に減少するというものです。これは、流体のエネルギー保存則を表しており、流線に沿って一般的に [latex]p + frac{1}{2}rho v^2 + rho gh = text{constant}[/latex] と表されます。