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Ley de Hooke generalizada

1678
  • Robert Hooke
  • Thomas Young
  • Augustin-Louis Cauchy
17th-century laboratory with tools for tensile testing and equations of Generalized Hooke's Law.

(Imagen generada únicamente con fines ilustrativos)

La ley generalizada de Hooke es la ecuación constitutiva para materiales elásticos lineales, afirmando que el estrés El tensor es linealmente proporcional al tensor de deformación. La relación se expresa como [latex]sigma = C : varepsilon[/latex], donde [latex]sigma[/latex] es el tensor de tensión, [latex]varepsilon[/latex] es el tensor de deformación y [latex]C[/latex] es el tensor de rigidez de cuarto orden que contiene las constantes elásticas del material.

Si bien la ley original de Robert Hooke de 1678 («ut tensio, sic vis» —«como la extensión, así la fuerza») describía una relación lineal unidimensional simple, la ley generalizada de Hooke extiende este principio a tres dimensiones. Constituye el fundamento matemático de la teoría de la elasticidad lineal. La relación conecta las seis componentes independientes del tensor de tensión con las seis componentes independientes del tensor de deformación infinitesimal. Esto se logra mediante el tensor de rigidez [latex]C_{ijkl}[/latex], un tensor de cuarto orden que contiene 81 componentes en su forma más general.

Debido a la simetría de los tensores de tensión y deformación, el número de componentes independientes en el tensor de rigidez se reduce a 36. Además, asumiendo la existencia de una función de densidad de energía de deformación, el propio tensor de rigidez se vuelve simétrico ([latex]C_{ijkl} = C_{klij}[/latex]), reduciendo el número de constantes elásticas independientes a 21 para el material anisotrópico más general. Para materiales con mayor grado de simetría, este número se reduce aún más. Para un material isotrópico, que tiene las mismas propiedades en todas las direcciones, solo se necesitan dos constantes elásticas independientes, como el módulo de Young (E) y el coeficiente de Poisson (ν). En este caso común, la ley se simplifica significativamente, permitiendo el cálculo directo de tensiones a partir de deformaciones y viceversa. Esta ley solo es válida dentro del límite elástico del material; más allá de este punto, se produce una deformación plástica permanente y se requieren otros modelos constitutivos.

UNESCO Nomenclature: 2208
- Mecánica

Tipo

Derecho físico

Ruptura

Fundacional

Uso

Uso generalizado

Precursores

  • Observaciones sobre las propiedades elásticas de los materiales.
  • Desarrollo de los conceptos de estrés y deformación
  • Las leyes del movimiento de Newton

Aplicaciones

  • elemento finito Software de análisis de elementos finitos (FEA) para diseño estructural
  • Diseño de resortes, vigas y otros componentes elásticos
  • Caracterización de materiales mediante ensayos de tracción
  • Sismología para modelar la propagación de ondas elásticas a través de la Tierra

Patentes:

NA

Ideas para posibles innovaciones

  • metamateriales programables con un tensor de rigidez que varía espacialmente para guiar ondas
  • Algoritmos de IA que diseñan materiales anisotrópicos óptimos ajustando los componentes del tensor de rigidez.
  • Impresión 4D of objects that self-assemble into complex shapes based on pre-programmed elastic responses
  • Prótesis avanzadas con rigidez ajustable para imitar el movimiento natural de las extremidades
  • ultrasónico imaging techniques that map the stiffness tensor of biological tissues for cancer detection
  • Compuestos autorreforzantes que aumentan localmente su rigidez en respuesta a altas tensiones.
  • Interfaces hápticas que simulan con precisión la sensación de materiales anisotrópicos como la madera o el tejido muscular
  • Materiales arquitectónicos con anisotropía diseñada para una adaptación pasiva de la forma dependiente de la carga.
Related to: Hooke’s law, linear elasticity, ecuación constitutiva, stress-strain relationship, stiffness tensor, Young’s modulus, Poisson’s ratio, isotropic material.

Contexto histórico

Ley de Hooke generalizada

1600
1650
1650
1678
1687
1687
1738
1750
1650
1650
1672
1687
1687
1738
1750

(Si la fecha es desconocida o no es relevante, por ejemplo "mecánica de fluidos", se proporciona una estimación redondeada de su aparición notable)

décimo año aniversario

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