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Legge di Hooke generalizzata

1678
  • Robert Hooke
  • Thomas Young
  • Augustin-Louis Cauchy
17th-century laboratory with tools for tensile testing and equations of Generalized Hooke's Law.

(Immagine generata a solo scopo illustrativo)

La legge generalizzata di Hooke è la equazione costitutiva per materiali elastici lineari, affermando che il stress Il tensore è linearmente proporzionale al tensore di deformazione. La relazione è espressa come [latex]sigma = C : varepsilon[/latex], dove [latex]sigma[/latex] è il tensore di sforzo, [latex]varepsilon[/latex] è il tensore di deformazione e [latex]C[/latex] è il tensore di rigidità del quarto ordine contenente le costanti elastiche del materiale.

Mentre la legge originale di Robert Hooke del 1678 ("ut tensio, sic vis" - come l'estensione, così la forza) descriveva una semplice relazione lineare unidimensionale, la legge generalizzata di Hooke estende questo principio a tre dimensioni. Essa costituisce il fondamento matematico della teoria dell'elasticità lineare. La relazione collega le sei componenti indipendenti del tensore di sforzo alle sei componenti indipendenti del tensore di deformazione infinitesimale. Ciò si ottiene attraverso il tensore di rigidità [latex]C_{ijkl}[/latex], un tensore di quarto ordine che contiene 81 componenti nella sua forma più generale.

Grazie alla simmetria dei tensori di sforzo e deformazione, il numero di componenti indipendenti nel tensore di rigidezza si riduce a 36. Inoltre, ipotizzando l'esistenza di una funzione di densità di energia di deformazione, il tensore di rigidezza stesso diventa simmetrico ([latex]C_{ijkl} = C_{klij}[/latex]), riducendo il numero di costanti elastiche indipendenti a 21 per il materiale anisotropo più generale. Per materiali con gradi di simmetria più elevati, questo numero si riduce ulteriormente. Per un materiale isotropo, che ha le stesse proprietà in tutte le direzioni, sono necessarie solo due costanti elastiche indipendenti, come il modulo di Young (E) e il coefficiente di Poisson (ν). In questo caso comune, la legge si semplifica notevolmente, consentendo il calcolo diretto degli sforzi a partire dalle deformazioni e viceversa. Questa legge è valida solo entro il limite elastico del materiale; oltre questo punto, si verifica una deformazione plastica permanente e sono necessari altri modelli costitutivi.

UNESCO Nomenclature: 2208
- Meccanica

Tipo

Legge fisica

Interruzione

Fondamento

Utilizzo

Uso diffuso

Precursori

  • Osservazioni sulle proprietà elastiche dei materiali
  • Sviluppo dei concetti di stress e deformazione
  • Le leggi del moto di Newton

Applicazioni

  • elemento finito software di analisi agli elementi finiti (FEA) per la progettazione strutturale
  • progettazione di molle, travi e altri componenti elastici
  • caratterizzazione dei materiali tramite prove di trazione
  • sismologia per modellare la propagazione delle onde elastiche attraverso la Terra

Brevetti:

NA

Idee e potenziali innovazioni

  • metamateriali programmabili con un tensore di rigidità spazialmente variabile per la guida d'onda
  • algoritmi di intelligenza artificiale che progettano materiali anisotropi ottimali regolando i componenti del tensore di rigidità
  • stampa 4D of objects that self-assemble into complex shapes based on pre-programmed elastic responses
  • protesi avanzate con rigidità regolabile per imitare il movimento naturale degli arti
  • ultrasonico imaging techniques that map the stiffness tensor of biological tissues for cancer detection
  • compositi autorinforzanti che aumentano localmente la loro rigidità in risposta a sollecitazioni elevate
  • interfacce tattili che simulano accuratamente la sensazione di materiali anisotropi come il legno o il tessuto muscolare
  • materiali architettonici con anisotropia progettata per l'adattamento passivo della forma in base al carico
Related to: Hooke’s law, linear elasticity, equazione costitutiva, stress-strain relationship, stiffness tensor, Young’s modulus, Poisson’s ratio, isotropic material.

Contesto storico

Legge di Hooke generalizzata

1600
1650
1650
1678
1687
1687
1738
1750
1650
1650
1672
1687
1687
1738
1750

(se la data è sconosciuta o non rilevante, ad esempio "meccanica dei fluidi", viene fornita una stima approssimativa della sua notevole comparsa)

decimo anno anniversario

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