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古典的な 力学 that uses generalized coordinates and their conjugate momenta. It is based on the Hamiltonian function, [latex]H(q, p, t)[/latex], representing the system’s total energy. The dynamics are described by Hamilton’s equations: [latex]\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}[/latex] and [latex]\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}[/latex]. This framework is central to quantum mechanics and statistical mechanics.
ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって開発されたハミルトン力学は、古典力学をさらに抽象化したもので、 ラグランジアン フレームワーク。その自然な設定は位相空間であり、これは一般化座標（[latex]q_i[/latex]）とその対応する一般化運動量（[latex]p_i = frac{partial L}{partial dot{q}_i}[/latex]）を軸とする抽象空間である。任意の瞬間のシステムの完全な状態は、この位相空間内の単一の点によって表される。
中心となる関数はハミルトニアン [latex]H(q, p, t)[/latex] であり、これはルジャンドル変換によってラグランジアンから導出されます。多くの一般的なシステムでは、ハミルトニアンは単純に全エネルギー [latex]H = T + V[/latex] です。システムの時間発展は、ハミルトン方程式として知られる一連の 1 階微分方程式によって支配されます。 [latex]dot{q}_i = frac{partial H}{partial p_i}[/latex] および [latex]dot{p}_i = -frac{partial H}{partial q_i}[/latex]。これらの方程式は対称であり、2 階のオイラー・ラグランジュ方程式よりも扱いやすい場合が多いです。
この形式体系の重要な側面は、物理学の他の分野との深い繋がりにある。ハミルトン力学の構造は、正準変換と呼ばれる変換のクラスの下で保存される。任意の量[latex]f(q, p)[/latex]の時間発展は、ポアソン括弧を用いて表現できる。ポアソン括弧は、量子力学において交換子という直接的な類似物を持つ数学的演算である。このことから、ハミルトン力学は量子論の最も直接的な古典的先駆者と言える。
さらに、ハミルトン力学は統計力学の基礎となっています。ハミルトン方程式から直接導かれるリウヴィルの定理は、位相空間における領域の体積は時間とともに変化しても保存されると述べています。この原理は、気体中の原子など、多数の粒子からなる集合体の挙動を理解する上で非常に重要です。
ハミルトン力学
（日付が不明または関連性がない場合、例えば「流体力学」などでは、その注目すべき出現時期の概算値が提示されます。）
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