(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)
शास्त्रीय का पुनर्गठन यांत्रिकी यह सामान्यीकृत निर्देशांकों और उनके संयुग्मी संवेगों का उपयोग करता है। यह हैमिल्टोनियन फ़ंक्शन, H(q, p, t) पर आधारित है, जो सिस्टम की कुल ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है। गतिकी को हैमिल्टोनियन समीकरणों द्वारा वर्णित किया गया है: qi = πH{πpi} और πpi = -πH{πqi}। रूपरेखा यह क्वांटम यांत्रिकी और सांख्यिकीय यांत्रिकी के लिए केंद्रीय है।
Hamiltonian mechanics, developed by William Rowan Hamilton, is a further abstraction of classical mechanics, building upon the Lagrangian framework. Its natural setting is phase space, an abstract space where the axes are the generalized coordinates ([latex]q_i[/latex]) and their corresponding generalized momenta ([latex]p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}[/latex]). The complete state of a system at any instant is represented by a single point in this phase space.
केंद्रीय फलन हैमिल्टोनियन [latex]H(q, p, t)[/latex] है, जो लेजेंड्रे रूपांतरण के माध्यम से लैग्रेंजियन से प्राप्त होता है। कई सामान्य प्रणालियों के लिए, हैमिल्टोनियन केवल कुल ऊर्जा [latex]H = T + V[/latex] होता है। समय के साथ प्रणाली का विकास प्रथम-कोटि अवकल समीकरणों के एक समूह द्वारा नियंत्रित होता है जिन्हें हैमिल्टोनियन समीकरण कहा जाता है: [latex]dot{q}_i = frac{partial H}{partial p_i}[/latex] और [latex]dot{p}_i = -frac{partial H}{partial q_i}[/latex]। ये समीकरण सममित होते हैं और अक्सर द्वितीय-कोटि यूलर-लैग्रेंज समीकरणों की तुलना में इनसे निपटना आसान होता है।
इस औपचारिकता का एक महत्वपूर्ण पहलू भौतिकी के अन्य क्षेत्रों से इसका गहरा संबंध है। हैमिल्टोनियन यांत्रिकी की संरचना को मानक रूपांतरण नामक रूपांतरणों के एक वर्ग के अंतर्गत संरक्षित रखा जाता है। किसी भी मात्रा [latex]f(q, p)[/latex] के समय विकास को पॉइसन ब्रैकेट का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है, जो एक गणितीय संक्रिया है जिसका क्वांटम यांत्रिकी में प्रत्यक्ष अनुरूप है: कम्यूटेटर। यह हैमिल्टोनियन यांत्रिकी को क्वांटम सिद्धांत का सबसे प्रत्यक्ष शास्त्रीय पूर्ववर्ती बनाता है।
इसके अलावा, हैमिल्टोनियन यांत्रिकी सांख्यिकीय यांत्रिकी का आधार है। हैमिल्टन के समीकरणों का प्रत्यक्ष परिणाम, लिउविल का प्रमेय, यह बताता है कि समय के साथ विकसित होने पर चरण स्थान में किसी क्षेत्र का आयतन संरक्षित रहता है। यह सिद्धांत गैस में परमाणुओं जैसे कणों के बड़े समूहों के व्यवहार को समझने के लिए महत्वपूर्ण है।
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हैमिल्टोनियन यांत्रिकी
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