(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)
शास्त्रीय का पुनर्गठन यांत्रिकी that uses generalized coordinates and their conjugate momenta. It is based on the Hamiltonian function, [latex]H(q, p, t)[/latex], representing the system’s total energy. The dynamics are described by Hamilton’s equations: [latex]\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}[/latex] and [latex]\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}[/latex]. This framework is central to quantum mechanics and statistical mechanics.
विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा विकसित हैमिल्टनियन यांत्रिकी, शास्त्रीय यांत्रिकी का एक और अधिक अमूर्त रूप है, जो इस पर आधारित है। लाग्रंगियन यह ढांचा स्वाभाविक रूप से चरण स्थान में स्थित है, जो एक अमूर्त स्थान है जहां अक्ष सामान्यीकृत निर्देशांक (q_i) और उनके संगत सामान्यीकृत संवेग (p_i = ππL{ππq_i) होते हैं। किसी भी क्षण किसी प्रणाली की संपूर्ण अवस्था को इस चरण स्थान में एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।
केंद्रीय फलन हैमिल्टोनियन [latex]H(q, p, t)[/latex] है, जो लेजेंड्रे रूपांतरण के माध्यम से लैग्रेंजियन से प्राप्त होता है। कई सामान्य प्रणालियों के लिए, हैमिल्टोनियन केवल कुल ऊर्जा [latex]H = T + V[/latex] होता है। समय के साथ प्रणाली का विकास प्रथम-कोटि अवकल समीकरणों के एक समूह द्वारा नियंत्रित होता है जिन्हें हैमिल्टोनियन समीकरण कहा जाता है: [latex]dot{q}_i = frac{partial H}{partial p_i}[/latex] और [latex]dot{p}_i = -frac{partial H}{partial q_i}[/latex]। ये समीकरण सममित होते हैं और अक्सर द्वितीय-कोटि यूलर-लैग्रेंज समीकरणों की तुलना में इनसे निपटना आसान होता है।
इस औपचारिकता का एक महत्वपूर्ण पहलू भौतिकी के अन्य क्षेत्रों से इसका गहरा संबंध है। हैमिल्टोनियन यांत्रिकी की संरचना को मानक रूपांतरण नामक रूपांतरणों के एक वर्ग के अंतर्गत संरक्षित रखा जाता है। किसी भी मात्रा [latex]f(q, p)[/latex] के समय विकास को पॉइसन ब्रैकेट का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है, जो एक गणितीय संक्रिया है जिसका क्वांटम यांत्रिकी में प्रत्यक्ष अनुरूप है: कम्यूटेटर। यह हैमिल्टोनियन यांत्रिकी को क्वांटम सिद्धांत का सबसे प्रत्यक्ष शास्त्रीय पूर्ववर्ती बनाता है।
इसके अलावा, हैमिल्टोनियन यांत्रिकी सांख्यिकीय यांत्रिकी का आधार है। हैमिल्टन के समीकरणों का प्रत्यक्ष परिणाम, लिउविल का प्रमेय, यह बताता है कि समय के साथ विकसित होने पर चरण स्थान में किसी क्षेत्र का आयतन संरक्षित रहता है। यह सिद्धांत गैस में परमाणुओं जैसे कणों के बड़े समूहों के व्यवहार को समझने के लिए महत्वपूर्ण है।
हैमिल्टोनियन यांत्रिकी
(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)
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