統計的検定は、品質管理と製造において、意思決定のための客観的な証拠を提供する唯一の方法です。統計的検定は、プロセスのばらつきを特定し、ランダムな変動と実際の問題を区別するのに役立ちます。エンジニアリングにおいては、統計はシステム性能におけるパターン、外れ値、および故障の原因を特定し、データに基づいた意思決定を保証します。実験結果を厳密に分析することで、エンジニアは製品設計と製造プロセスを検証し、実装前に潜在的な問題を検出できます。この体系的なアプローチにより、予期せぬ故障のリスクが低減され、信頼性と国際安全基準への準拠が確保されることで、全体的な安全性が向上します。
この記事では、製造業で使用されている主な統計的検定について解説します。 総合品質管理 (TQM).
注：これらは工学、研究、科学にも関係するため、以下の2つの統計的検定と分析
- 相関分析： 2 つの変数間の関係の強さと方向を測定します (例: ピアソン 相関係数）。
- 回帰分析： 変数間の関係（例えば、入力要因とプロセス出力）を、単純線形回帰から重回帰まで分析する。
それらはここには含まれていませんが、工学における主要な10個のアルゴリズムに関する特定の記事に記載されています。
正規性検定
統計検定の世界では、多くの一般的な統計手法（t検定、ANOVA、線形回帰など）は、データが正規分布（ガウス分布）に従う（または残差／誤差が正規分布に従う）ことを前提としています。この前提に反すると、結果の信頼性が損なわれる可能性があります。p値が誤解を招く可能性があり、信頼区間が誤っている可能性があり、第一種／第二種過誤のリスクが高まります。ただし、一元配置分散分析（1-way ANOVA）のように、非正規分布にも比較的うまく対応できる検定もあります。
注：データが正規分布に従わない場合（以下の実例を参照）、正規分布を仮定しないノンパラメトリック検定（マン・ホイットニーU検定やクラスカル・ウォリス検定など）を使用するか、データを変換する必要があるかもしれません。ただし、これらの方法は本記事の範囲外です。
この目的のためにいくつかの統計的検定が存在するが、ここでは特にサンプルサイズが小さい場合に有名なシャピロ・ウィルク検定について詳しく説明する。通常n < 50だが、最大2000まで使用できる。
参考までに、その他の一般的な正規性検査は以下のとおりです。
- コルモゴロフ・スミルノフ（KS）検定（リリフォース補正付き）：サンプルサイズが大きいほど性能が向上するが、特に小規模データセットではシャピロ・ウィルク検定よりも感度が低い。
- アンダーソン・ダーリング検定：あらゆるサンプルサイズで有効であり、分布の両端（裾野）においてより高い感度を持ち、極端な値における正規性からの逸脱を検出する能力が高い。
シャピロ・ウィルク正規性検定の実施方法
1. シャピロ・ウィルク検定統計量（W）を計算します。 [latex]W = \frac{\left(\sum_{i=1}^{n} a_i x_{(i)}\right)^2}{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}[/latex] Note: as the calculation of the [latex]a_i[/latex] coefficients is nontrivial and generally requires a table or algorithm, which is why the Shapiro-Wilk test is nearly always computed by software such as R, Python’s SciPy, MS Excel add-ons or other dedicated softwares. 手動計算の場合は、このページ provides all the [latex]a_i[/latex] coefficients and p-value for samples up to 50. Wの値は0から1の範囲です（W = 1：完全な正規分布。W < 1：1から離れるほど、データは正規分布から外れます）。 2. Wだけでは不十分です。信頼水準を得るには、対応するp値と組み合わせて使用します。シャピロ・ウィルク表では、 n サンプルサイズの行で、計算した W に最も近い値を探し、それに対応する値を取得します。 上部にp値を表示 | 分子は、重み付けされた順序付きサンプル値の二乗和を表します。 分母は標本平均からの偏差の二乗の合計（つまり、標本分散を（n-1）倍したもの）です。 [latex]x_{(i)}[/latex] = the i-th order statistic (i.e., the i-th smallest value in the sample) [latex]x_i[/latex] = the i-th observed value [latex]\bar{x}[/latex] = the sample mean [latex]a_i[/latex] = constants (weights) calculated from the mean, variances, and covariances of the order statistics of a sample from a standard normal distribution ((N(0,1))), and depend only on n (sample size). n = サンプルサイズ |
3. 結果： p値が選択した有意水準（例：0.05）より大きい場合、テスト対象のデータが正規分布しているという統計的証拠がある。 | |
正規性検定では、数値的手法とヘンリーの線、QQプロット、ヒストグラムなどのグラフ的手法を組み合わせることがよく推奨されます。
非正規分布に注意！
正規分布（ガウス分布）が最も頻繁に見られるケースではあるが、それを自動的に仮定すべきではない。日常的な反例としては以下のようなものがある。
- 個人間の富と所得の分布。これはパレート分布（べき乗則）に従うが、非常に裕福な個人が「長い裾野」を占めるという偏りがある。
- 国の都市の人口規模はジップの法則（べき乗則）に従い、ごく少数の非常に大きな都市と多数の小さな町が存在する。
- 地震の規模と発生頻度はべき乗則／グーテンベルク・リヒター分布に従う。つまり、小規模な地震は頻繁に発生するが、大規模な地震はまれである。
- 金融市場における日々の価格変動や収益率：正規分布ではなく、裾の厚い分布（ファットテール分布）となる。大きな変動は、正規分布で予測されるよりも頻繁に発生する。
- 言語における単語の出現頻度は、上記の都市人口と同様に、ジップの法則（べき乗法則）に従います。つまり、頻繁に使用される単語は少なく、ほとんどの単語はまれにしか使用されません。
- インターネットのトラフィック/ウェブサイトの人気度：べき乗則/ロングテール：数百万のアクセスがあるサイトもあれば、ほとんどはごくわずかしかないサイトもある。
- コンピュータシステムのファイルサイズは、対数正規分布またはべき乗則に従い、ごく少数の非常に大きなファイルと多数の小さなファイルが存在する。
- 人間の寿命/長寿: 右に偏っている (モデル化可能) ワイブル またはゴンペルツ分布）であり、正規分布ではない。高齢になるほど死亡者数が多くなる。
- ソーシャルネットワーク上のつながりはべき乗則に従う。つまり、多くのつながりを持つユーザーは少数であり、ほとんどのユーザーは少数のつながりしか持たない。
これらのほとんどは、「少数の大きな値と多数の小さな値」という特徴を持ち、べき乗則、裾の重い分布、指数分布または対数正規分布の特徴であり、ガウス分布のような対称的な形状ではありません。
t検定（スチューデントのt検定）
t検定（別名「スチューデントのt検定」）は、1908年にウィリアム・シーリー・ゴセットが「スチューデント」というペンネームで開発した統計的検定法で、標本サイズが小さく、母集団の分散が不明な場合に平均値を比較するために用いられます。2つの母集団の平均値の比較に特化しており、製造業において最もよく用いられる検定法の1つです。
目的： t検定は、エンジニアや品質管理担当者が、2つのグループの平均値間、または標本平均値と既知の標準値との間に統計的に有意な差があるかどうかを判断するのに役立ちます。これは、プロセス変更や製品変更が統計的に有意な差をもたらすかどうかを評価するための仮説検定でよく使用されます。 導かれた 偶然では期待できない、真の改善や差異をもたらす。
業界における具体的な事例：
- 自動車製造においては、t検定を用いて、異なる2つのサプライヤーから供給された鋼材の引張強度を比較し、品質の一貫性を確保することがある。
- 医薬品分野では、t検定は、新しい製造プロセスによって製造される錠剤の平均重量が、標準値と有意に異なるかどうかを分析するために使用される。
- 電子工学では、エンジニアはt検定を使用して、 デザイン変更 で 回路基板 その結果、電気抵抗が測定可能なほど改善される。
スチューデントのt検定の実施方法
t検定には多くのバリエーションがありますが、ここでは、いわゆる「2標本t検定」の「非対応」バージョンに焦点を当て、2つの異なる生産バッチの標本を比較します。
- 帰無仮説と対立仮説を述べてください。この例では、「平均値に差はない」と「平均値に差がある」です。
- 比較対象の2つの生産バッチからデータを収集し、計算します。
- the 2 sample means [latex]\bar{X} = \frac{1}{n_1} \sum_{i=1}^{n_1} X_i[/latex] and [latex]\bar{Y} = \frac{1}{n_2} \sum_{j=1}^{n_2} Y_j[/latex]
- Calculate the 2 sample variances: [latex]S_X^2 = \frac{1}{n_1-1} \sum_{i=1}^{n_1} (X_i – \bar{X})^2[/latex] and [latex]S_Y^2 = \frac{1}{n_2-1} \sum_{j=1}^{n_2} (Y_j – \bar{Y})^2[/latex]
- サンプルサイズ。
- 検定統計量を計算します。この方法は、両方のサンプルが独立しており、両方のサンプルが正規分布母集団から抽出されたものであることを前提としていますが、それでも次の2つのケースが考えられます。
- 等分散を仮定した場合 (“pooled” t-test;): Pooled variance: [latex]S_p^2 = \frac{ (n_1-1)S_X^2 + (n_2-1)S_Y^2 }{ n_1 + n_2 – 2 }[/latex]
Test statistic: [latex]t = \frac{ \bar{X} – \bar{Y} }{ S_p \sqrt{ \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} } }[/latex] - 分散が等しくない場合 (Welch’s t-test): Test statistic: [latex]t = \frac{ \bar{X} – \bar{Y} }{ \sqrt{ \frac{S_X^2}{n_1} + \frac{S_Y^2}{n_2} } }[/latex] Degrees of freedom (approximate, Welch-Satterthwaite): [latex]df = \frac{\left( \frac{S_X^2}{n_1} + \frac{S_Y^2}{n_2} \right)^2}{ \frac{ (S_X^2 / n_1)^2 }{ n_1 – 1 } + \frac{ (S_Y^2 / n_2)^2 }{ n_2 – 1 } }[/latex]
- 等分散を仮定した場合 (“pooled” t-test;): Pooled variance: [latex]S_p^2 = \frac{ (n_1-1)S_X^2 + (n_2-1)S_Y^2 }{ n_1 + n_2 – 2 }[/latex]
- Use the calculated ( t ) and degrees of freedom ([latex]n_1+n_2-2[/latex] for equal variances, or the Welch formula) to look up or compute the p-value from the t-distribution (depending on whether it’s a one-tailed or two-tailed test).
- 結果： 計算したt値を、選択した信頼水準と自由度に基づいた統計表の臨界t値と比較します。あるいは、p値の計算にはソフトウェアを使用します。t統計量が臨界値を超える場合、またはp値が閾値（通常は0.05）を下回る場合は、帰無仮説を棄却します。
リンク先 t検定の臨界値表
The F-Test
The F-test, introduced by statistician Ronald A. Fisher in the early 20th century, is used to compare the variability (variance) between two sets of data, to assess if their population variances are significantly different. In quality and engineering, it often helps determine if process changes or different machines produce consistent results or if new methods affect product variability. Often a preliminary step before applying t-tests and ANOVA on larger comparisons.
目的： the F-Test is used to confirm if two processes or samples have the same level of variation, which supports quality control decisions and process improvements. It helps engineers identify if changes (e.g., new machines, suppliers, or materials) impact the consistency or quality of a product.
Industry Examples
- Manufacturing: comparing the dimensional variances of parts produced by two different machines to ensure both machines produce consistently within quality standards.
- Supplier Evaluation: comparing the strength variability of raw materials from two different suppliers to decide if one supplier provides more consistent quality.
- Quality Improvement: testing if a process improvement (like a new calibration method) has reduced the variability in final product weight compared to the old method.
How-to the F-Test
- Collect two sets of sample data (e.g., measurements from process A and process B).
- Calculate the variance for each sample group A and B.
- Divide the larger variance by the smaller variance to get the F-value.
- 結果： compare this F-value to a critical value from the F-distribution table based on sample sizes and the desired confidence level; if the calculated F-value is greater, the variances are significantly different. In statistical tests, the variance ratio tests, the degrees of freedom (DOF) associated with each group is the quantity of samples minus one (note that this is different for an ANOVA result comparison).
F-distribution table: link to the F-distribution table up to 15×15 DOF (and online F critical calculator for bigger DOF)
分散分析（ANOVA）
While the F-test above refers broadly to any statistical test that uses the F-distribution and is used to compare variances or ratios of variances between two or more groups, the ANOVA is a variant that compares the means of three or more groups to see if at least one is significantly different. The ANOVA test was also developed by Ronald Fisher in the 1920s as a statistical tool for agricultural experiments.
目的： the Analysis of Variance (ANOVA) is to determine whether there are statistically significant differences between the means of three or more independent groups. In quality, engineering and particularly in 実験計画法（DOE）, it helps identify which factors or processes have a significant impact on product performance or output, aiding robust decision-making and process improvement.
例：
- In pharmaceutical production, ANOVA can help compare the effects of different formulation processes on the efficacy of a drug.
- In electronics, it is used to test if the variance in circuit board failure rates is due to different batches of raw materials.
How-to ANOVA in Brief
1. Define the groups or treatments you want to compare and collect data from each group. Calculate
2. Use these values to calculate the F-statistic (see on the right), which is the ratio of variance between groups to the variance within groups. 3. Compare F-statistic to a critical value from the F-distribution table at a chosen significance level (like 0.05). 4. Result: if the F-statistic exceeds the critical value, you conclude that there are significant differences among group means. | The F-statistic: The F corresponds to the Mean Square Between Groups (MSB) divided by Mean Square Within Groups (MSW) Practically: [latex]F = \frac{ \frac{SSB}{k-1} }{ \frac{SSW}{N-k} }[/latex] SSB = Sum of Squares Between Groups |
The Chi-Square Test
The Chi-Square Test, introduced by Karl Pearson in 1900, revolutionized statistical hypothesis testing by providing a method to determine if there is a significant difference between expected and observed frequencies in categorical data. In quality and engineering, it helps assess whether deviations in a process or product attributes occur by chance or suggest a systemic issue.
目的： the Chi-Square Test checks if the differences between observed and expected results in quality measurements are due to random variation or indicate a specific problem that needs addressing.
Practical examples in industry
- Manufacturing Defects: checking if the distribution of defective products across different shifts or machines is uniform, and whether certain shifts have a significantly higher defect rate.
- Supplier Quality: comparing the quality performance (e.g., pass/fail rates) of components from multiple suppliers to determine if one supplier’s parts are statistically more likely to fail.
- Customer Complaints: analyzing whether the types or frequency of customer complaints are randomly distributed throughout the year, or are associated with specific times, products, or regions.
How to do the chi-square test
- Collect observed data and determine the expected frequencies for each category under the null hypothesis.
- Use the Chi-Square formula: Χ² = Σ[(O – E)² / E] where O is observed, E is expected.
- Compare the calculated Chi-Square value against a critical value from the Chi-Square table with the appropriate degrees of freedom.
- 結果： if the value exceeds the table value, conclude there is a statistically significant difference.
Link to the chi-square critical values table
Chi-Square Full Example: Fairness of a Dice
| 私 | Oi | Ei | Oi−Ei | (Oi−Ei)2 |
| 1 | 5 | 10 | −5 | 25 |
| 2 | 8 | 10 | −2 | 4 |
| 3 | 9 | 10 | −1 | 1 |
| 4 | 8 | 10 | −2 | 4 |
| 5 | 10 | 10 | 0 | 0 |
| 6 | 20 | 10 | 10 | 100 |
| Sum | 134 | |||
This full example is taken from Wikipedia Chi-square article.
Experience: a 6-sided die is thrown 60 times. The number of times it lands face up on 1, 2, 3, 4, 5, 6 is 5, 8, 9, 8, 10 and 20, respectively.
Question: is the die biased, according to the Pearson’s chi-squared test at a significance level of 95% and/or 99%?
The null hypothesis is that the die is unbiased, hence each number is expected to occur the same number of times, in this case, 60/n = 10.
The outcomes can be tabulated as on the right:
| Degrees of freedom | Probability less than the critical value | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 0.90 | 0.95 | 0.975 | 0.99 | 0.999 | |
| 5 | 9.236 | 11.070 | 12.833 | 15.086 | 20.515 |
Looking at an upper-tail critical values of chi-square distribution table (table linked in the how-to above), the tabular value refers to the sum of the squared variables each divided by the expected outcomes.
For the present example, this means χ2=25/10+4/10+1/10+4/10+0/10+100/10=13.4
Conclusion of test: this 13.4 is the experimental result whose unlikeliness (with a fair die) we wish to estimate, with a significance or confidence between 97.5% and 99%
Process Capability (Cp, Cpk, Pp, Ppk)
Not a statistical test per se, these 4 ratios assess how well a process meets specifications, thus becoming a critical tool for maintaining and improving quality standards in manufacturing.
Process capability analysis originated in the early 20th century alongside the rise of statistical quality control in manufacturing, pioneered by figures like Walter Shewhart. Its methods evolved through the growth of シックスシグマ and Total Quality Management (TQM) in the late 20th century as a cornerstone of modern quality engineering.
目的： process capability analysis assesses how well a process can produce output within specified limits (tolerances). It quantifies the variability of a process relative to design specifications and determines the likelihood of producing defective products. The analysis helps identify opportunities for process improvement and ensures products consistently meet customer requirements.
Cp, Cpk and Statistical Tests in Industry
- Automotive manufacturing: statistical tests and these 4 ratios are used to check whether the diameter of engine pistons remains consistently within tight tolerance limits, ensuring compatibility and reducing engine failures.
- Pharmaceutical industry: applied to verify that the fill weight of tablets or capsules consistently meets regulatory and quality standards, minimizing underdose or overdose risks.
- Semiconductor manufacturing: employed to monitor the thickness of wafer coatings, ensuring reliability and performance in microchip production.
How to calculate Cp, Cpk, Pp and Ppk
Cp: Process Capability
| [latex]Cp = \frac{USL – LSL}{6\sigma}[/latex] | USL = Upper Specification Limit LSL = Lower Specification Limit σ = standard deviation (typically estimated from within-subgroup variation) |
Cpk: Process Capability Index
[latex]Cpk = \min\left(\frac{USL – \mu}{3\sigma}, \frac{\mu – LSL}{3\sigma}\right)[/latex] | [latex]\mu[/latex] = process mean |
Pp: Process Performance
[latex]Pp = \frac{USL – LSL}{6s}[/latex] | [latex]s[/latex] = overall standard deviation (includes both within and between subgroup variations; used over a longer period) |
Ppk: Process Performance Index
[latex]Ppk = \min\left(\frac{USL – \bar{x}}{3s}, \frac{\bar{x} – LSL}{3s}\right)[/latex] | [latex]\bar{x}[/latex] = overall mean |
How to Conclude with Cp, Cpk, Pp, Ppk Values
- Cp, Pp: if >1, the process has the potential to meet specifications; values ≥1.33 are generally considered capable, depending o your industry and the criticality of your exact application
- Cpk, Ppk: these reflect how centered the process is within specs; the closer Cpk/Ppk are to Cp/Pp, the more centered the process.
- If Cpk or Ppk <1, a significant portion of output is likely outside the specification; process improvement is needed.
- A higher index indicates a more capable (and usually, higher quality) process.
Conclusion & Pitfalls
Statistical tests are powerful tools in data analysis, but their use demands both strong theoretical understanding and critical real-world judgment and adaptation, far from just a statistical software installation or QMS rules.
- Understanding assumptions & selecting the right test: every statistical test has a set of underlying assumptions (e.g., normality of data, equal variances, independence of observations). If these assumptions are violated or an inappropriate test chosen, the results of the test may be invalid or misleading.
- Real-world messiness & business context matters: industrial data often violate test assumptions (e.g., non-normality, autocorrelation). Blindly applying textbook tests can result in completely misleading analyses.
- Data quality issues: measurement errors, outliers, and missing data are common in industrial statistical tests and must be addressed and documented before testing.
For product design so as for quality, put your effort where needed: “Sometimes, results are statistically significant but have negligible practical impact, or vice versa”
External Links on Statistical Tests for Quality
国際規格
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用語集
Analysis of Variance (ANOVA): 3つ以上の独立したグループの平均値間に有意差があるかどうかを判断するために用いられる統計的手法であり、グループ内およびグループ間の分散を分析する。また、1つ以上の要因が従属変数に与える影響を評価する。
Degrees Of Freedom (DOF): 機械システムまたは統計モデルの構成を定義する独立パラメータの数を測る尺度であり、システムが制約に違反することなく移動または変化できる方法の数を示す。
Design of Experiments (DOE): 複数の変数が応答変数に及ぼす影響を評価するために、制御された試験を計画、実施、分析、解釈するための体系的な方法であり、プロセスや製品の最適化と理解を可能にする。
Design of Experiment (DOE): 複数の変数が応答変数に及ぼす影響を評価するための、制御された試験を計画、実施、分析するための体系的な方法であり、最適な条件や要因間の相互作用の特定を容易にする。
Process Capability Index (Cpk): プロセスが指定された範囲内でどれだけうまく出力を生成できるかを定量化する統計的指標であり、プロセスの平均値と最も近い仕様限界との関係を、プロセスの変動性を考慮して調整したものである。
Process Performance Index (Ppk): プロセスが仕様限界をどの程度満たしているかを定量化する統計的指標であり、プロセスの平均値と標準偏差を用いて算出される。これは、ばらつきと中心値の両方を考慮した上で、プロセスが定義された限界内で出力を生産できる能力を示す。
Quality Management System (QMS): 製品およびサービスの一貫した品質を確保し、継続的な改善を促進し、顧客および規制要件を満たすことを目的とした、プロセス、手順、および責任の構造化されたシステム。
Solid-State Battery (SSB): 液体またはゲル状の電解質ではなく固体電解質を使用するバッテリー技術で、エネルギー密度が高く、安全性が向上し、寿命が長くなります。一般的に、従来のバッテリーと比較して、熱安定性が向上し、液漏れや発火のリスクが低減されます。
Total quality management (TQM): 顧客満足を通じて長期的な成功を目指す経営手法であり、組織のすべてのメンバーを巻き込み、プロセス、製品、サービスの継続的な改善を通じて品質とパフォーマンスを向上させる。
