Statistical tests are the only way in quality and manufacturing to provide objective evidence for decision-making. They help identify variations in processes and distinguish between random fluctuations and actual problems. In engineering, statistics help identify patterns, outliers, and sources of failure in system performance, ensuring data-driven decision-making. By rigorously analyzing experimental results, engineers can validate product designs and manufacturing processes, detecting potential problems before implementation. This systematic approach reduces the risk of unexpected failures and enhances overall safety by ensuring reliability and compliance with international safety normas.
En este artículo se revisarán las principales pruebas estadísticas utilizadas en la fabricación y la Gestión de la Calidad Total (GCT).
Nota: dado que también afectan a la ingeniería, la investigación y la ciencia, las 2 pruebas y análisis estadísticos siguientes
- análisis de correlación: mide la fuerza y la dirección de la relación entre dos variables (por ejemplo, coeficiente de correlación de Pearson).
- análisis de regresión: examina la relación entre variables (por ejemplo, factores de entrada y resultados del proceso), desde la simple regresión lineal hasta la múltiple.
no se incluyen aquí, sino en un artículo específico sobre los 10 principales algoritmos para ingeniería.
Pruebas de normalidad
En el mundo de las pruebas estadísticas, muchos métodos estadísticos comunes (pruebas t, ANOVA, regresión lineal, etc.) suponen que los datos tienen una distribución normal/gaussiana (o que los residuos/errores son normales). La violación de este supuesto puede hacer que los resultados no sean fiables: los valores p pueden ser engañosos, los intervalos de confianza pueden ser erróneos y el riesgo de errores de tipo I/II aumenta. Tenga en cuenta que algunas pruebas, como el ANOVA de 1 vía, pueden manejar razonablemente bien una distribución no normal.
Nota: si los datos no son normales (véanse los casos reales más abajo), es posible que tenga que utilizar pruebas no paramétricas (como la prueba U de Mann-Whitney o la prueba de Kruskal-Wallis), que no presuponen normalidad, o transformar los datos, lo que queda fuera del ámbito de este artículo.
Aunque existen varias pruebas estadísticas para ello, detallaremos aquí la prueba de Shapiro-Wilk, famosa sobre todo para muestras de pequeño tamaño, normalmente n < 50, pero que puede utilizarse hasta 2000.
Para su información, otras pruebas de normalidad habituales:
- Prueba de Kolmogorov-Smirnov (K-S) (con corrección de Lilliefors): funciona mejor con muestras de mayor tamaño, aunque es menos sensible que la prueba de Shapiro-Wilk, especialmente para conjuntos de datos pequeños.
- Prueba de Anderson-Darling: es buena con todos los tamaños de muestra y tiene más sensibilidad en las colas (extremos) de la distribución, al tiempo que es más potente para detectar desviaciones de la normalidad en los extremos.
Cómo realizar la prueba de normalidad de Shapiro-Wilk
1. Calcular o computar el estadístico de la prueba de Shapiro-Wilk (W): \(W = \frac{\left(\sum_{i=1}^{n} a_i x_{(i)}\right)^2}{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}\)Note: as the calculation of the \(a_i\) coefficients is nontrivial and generally requires a table or algorithm, which is why the Shapiro-Wilk test is nearly always computed by software such as R, Python’s SciPy, MS Excel add-ons or other dedicated softwares. Para un cálculo manual, esta página provides all the \(a_i\) coefficients and p-value for samples up to 50. El valor de W oscila entre 0 y 1 (W = 1: normalidad perfecta. W < 1: cuanto más se aleja de 1, menos normales son los datos). 2. W no es suficiente. Funciona junto con su correspondiente valor p para tener el nivel de confianza. En la tabla de Shapiro-Wilk, en la fila del tamaño de muestra n, busque el valor más cercano a su W calculado y obtenga su correspondiente Valor p en la parte superior | El numerador representa la suma al cuadrado de los valores de la muestra ordenada ponderada. El denominador es la suma de las desviaciones al cuadrado de la media muestral (es decir, la varianza muestral, escalada por (n-1)). \(x_{(i)}\) = the i-th order statistic (i.e., the i-th smallest value in the sample) \(x_i\) = the i-th observed value \(\bar{x}\) = the sample mean \(a_i\) = constants (weights) calculated from the mean, variances, and covariances of the order statistics of a sample from a standard normal distribution ((N(0,1))), and depend only on n (sample size). n = tamaño de la muestra |
3. Resultado: si el valor p es superior al nivel alfa elegido (por ejemplo, 0,05), existen pruebas estadísticas de que los datos analizados se distribuyen normalmente. | |
Para comprobar la normalidad, a menudo se aconseja combinar un método numérico con un método gráfico como la línea de Henry, los gráficos Q-Q o los histogramas :
Cuidado con las distribuciones no normales
Aunque la distribución normal/gaussiana es el caso más frecuente, no debe asumirse automáticamente. Entre los contraejemplos cotidianos se encuentran:
- Distribución de la riqueza y la renta entre los individuos. Sigue una distribución de Pareto (ley de la potencia), sesgada con una "larga cola" de individuos muy ricos.
- El tamaño de la población de un país sigue la Ley de Zipf (ley de potencias), con unas pocas ciudades muy grandes y muchos pueblos pequeños.
- Las magnitudes y la frecuencia de los terremotos siguen una distribución de ley de potencia/Gutenberg-Richter: los terremotos pequeños son frecuentes, los grandes son raros.
- Variaciones diarias de precios o rendimientos en los mercados financieros: distribuciones de cola gruesa/alta, no gaussianas; las grandes desviaciones se producen con más frecuencia de lo previsto por una distribución normal.
- Las frecuencias de palabras en el lenguaje, como la población de la ciudad anterior, sigue una Ley de Zipf (ley de potencia): Pocas palabras se usan a menudo, la mayoría son raras.
- Tráfico en Internet/popularidad de los sitios web: ley de potencia/cola larga: Algunos sitios tienen millones de visitas, la mayoría muy pocas.
- Tamaño de los archivos en los sistemas informáticos: log-normal o ley de potencia, con unos pocos archivos muy grandes y muchos pequeños.
- Esperanza de vida/longevidad humana: asimétrica a la derecha (puede modelarse con Weibull o Gompertz), no normales; muere más gente a edades más avanzadas.
- Las conexiones de las redes sociales siguen una ley de potencia: pocos usuarios tienen muchas conexiones; la mayoría, pocas.
La mayoría de ellas se caracterizan por "pocos grandes, muchos pequeños", una firma de leyes de potencia, colas pesadas, distribuciones exponenciales o log-normales, y no la forma simétrica de la gaussiana.
La prueba t (prueba t de Student)
La prueba t (también conocida como "t de Student"), desarrollada por William Sealy Gosset bajo el seudónimo de "Student" en 1908, es una prueba estadística utilizada para comparar medias cuando el tamaño de las muestras es pequeño y se desconoce la varianza de la población. Centrada en la comparación de las medias de dos poblaciones, es una de las pruebas más utilizadas en la industria manufacturera.
Propósito: La prueba t ayuda a los ingenieros y profesionales de la calidad a determinar si existe una diferencia estadísticamente significativa entre las medias de dos grupos o entre la media de una muestra y una norma conocida. Se suele utilizar en las pruebas de hipótesis para evaluar si los cambios en los procesos o las modificaciones de los productos han led a mejoras o diferencias reales, más allá de lo que cabría esperar por azar.
Ejemplos prácticos en la industria:
- En la fabricación de automóviles, puede utilizarse una prueba t para comparar la resistencia a la tracción del acero de dos proveedores distintos y garantizar así una calidad uniforme.
- En el sector farmacéutico, la prueba t se utiliza para analizar si un nuevo proceso de producción produce comprimidos con un peso medio significativamente diferente del estándar.
- In electronics, engineers may use the t-Test to verify if a design change in a circuit board results in a measurable improvement in electrical resistance.
Cómo realizar la prueba t de Student
Existen muchas variantes de la prueba t; el ejemplo aquí se centrará en la llamada "prueba t de dos muestras" en su versión "no apareada", que compara los muestreos de 2 lotes de producción diferentes.
- Plantee sus hipótesis nula y alternativa; en este ejemplo, "no hay diferencia entre las medias" frente a "hay diferencias".
- Recopile los datos de los 2 lotes de producción comparados y calcule
- the 2 sample means \(\bar{X} = \frac{1}{n_1} \sum_{i=1}^{n_1} X_i\) and \(\bar{Y} = \frac{1}{n_2} \sum_{j=1}^{n_2} Y_j\)
- Calculate the 2 sample variances: \(S_X^2 = \frac{1}{n_1-1} \sum_{i=1}^{n_1} (X_i – \bar{X})^2\) and \(S_Y^2 = \frac{1}{n_2-1} \sum_{j=1}^{n_2} (Y_j – \bar{Y})^2\)
- tamaño de las muestras.
- Calcule el estadístico de la prueba. Aunque el método supone que ambas muestras son independientes y que ambas muestras proceden de poblaciones con distribución normal, todavía hay dos casos:
- si se suponen varianzas iguales (“pooled” t-test;): Pooled variance: \(S_p^2 = \frac{ (n_1-1)S_X^2 + (n_2-1)S_Y^2 }{ n_1 + n_2 – 2 }\)
Test statistic: \(t = \frac{ \bar{X} – \bar{Y} }{ S_p \sqrt{ \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} } }\) - si las varianzas son desiguales (Welch’s t-test): Test statistic: \(t = \frac{ \bar{X} – \bar{Y} }{ \sqrt{ \frac{S_X^2}{n_1} + \frac{S_Y^2}{n_2} } }\) Degrees of freedom (approximate, Welch-Satterthwaite): \(df = \frac{\left( \frac{S_X^2}{n_1} + \frac{S_Y^2}{n_2} \right)^2}{ \frac{ (S_X^2 / n_1)^2 }{ n_1 – 1 } + \frac{ (S_Y^2 / n_2)^2 }{ n_2 – 1 } }\)
- si se suponen varianzas iguales (“pooled” t-test;): Pooled variance: \(S_p^2 = \frac{ (n_1-1)S_X^2 + (n_2-1)S_Y^2 }{ n_1 + n_2 – 2 }\)
- Use the calculated ( t ) and degrees of freedom (\(n_1+n_2-2\) for equal variances, or the Welch formula) to look up or compute the p-value from the t-distribution (depending on whether it’s a one-tailed or two-tailed test).
- Resultado: compare el valor t calculado con el valor t crítico de las tablas estadísticas basadas en el nivel de confianza y los grados de libertad que haya elegido; alternativamente, utilice un programa informático para obtener el valor p. Si el estadístico t supera el valor crítico o el valor p está por debajo de su umbral (normalmente 0,05), rechace la hipótesis nula.
La prueba F
La prueba F, introducida por el estadístico Ronald A. Fisher a principios del siglo XX, se utiliza para comparar la variabilidad (varianza) entre dos conjuntos de datos y evaluar si sus varianzas poblacionales son significativamente diferentes. En el ámbito de la calidad y la ingeniería, suele ayudar a determinar si los cambios en el proceso o las distintas máquinas producen resultados coherentes o si los nuevos métodos afectan a la variabilidad del producto. A menudo es un paso preliminar antes de aplicar pruebas t y ANOVA en comparaciones más amplias.
Propósito: La prueba F se utiliza para confirmar si dos procesos o muestras tienen el mismo nivel de variación, lo que permite tomar decisiones de control de calidad y mejorar los procesos. Ayuda a los ingenieros a identificar si los cambios (por ejemplo, nuevas máquinas, proveedores o materiales) repercuten en la consistencia o calidad de un producto.
Ejemplos del sector
- Fabricación: comparación de las desviaciones dimensionales de las piezas producidas por dos máquinas diferentes para garantizar que ambas máquinas producen de forma coherente dentro de los estándares de calidad.
- Evaluación de proveedores: comparar la variabilidad de la resistencia de las materias primas de dos proveedores diferentes para decidir si uno de ellos ofrece una calidad más constante.
- Mejora de la calidad: comprobar si una mejora del proceso (como un nuevo método de calibración) ha reducido la variabilidad del peso del producto final en comparación con el método antiguo.
Cómo realizar la prueba F
- Recoger dos conjuntos de datos de muestra (por ejemplo, mediciones del proceso A y del proceso B).
- Calcula la varianza para cada grupo de muestras A y B.
- Divida la varianza mayor por la varianza menor para obtener el valor F.
- Resultado: compare este valor F con un valor crítico de la tabla de distribución F basado en el tamaño de las muestras y el nivel de confianza deseado; si el valor F calculado es mayor, las varianzas son significativamente diferentes. En las pruebas estadísticas, las pruebas de relación de varianzas, los grados de libertad (DOF) asociados a cada grupo son la cantidad de muestras menos uno (tenga en cuenta que esto es diferente para una comparación de resultados ANOVA).
Tabla de distribución F: enlace con la Tabla de distribución F hasta 15×15 DOF (y calculadora en línea de F crítico para DOF mayores)
Análisis de varianza (ANOVA)
Mientras que la prueba F se refiere en general a cualquier prueba estadística que utilice la distribución F y se utilice para comparar varianzas o proporciones de varianzas entre dos o más grupos, el ANOVA es una variante que compara las medias de tres o más grupos para ver si al menos uno es significativamente diferente. La prueba ANOVA también fue desarrollada por Ronald Fisher en la década de 1920 como herramienta estadística para experimentos agrícolas.
Propósito: el análisis de la varianza (ANOVA) consiste en determinar si existen diferencias estadísticamente significativas entre las medias de tres o más grupos independientes. En calidad, ingeniería y, en particular, en Diseño de experimentos (DOE)Además, ayuda a identificar los factores o procesos que tienen un impacto significativo en el rendimiento o la producción del producto, lo que contribuye a una toma de decisiones sólida y a la mejora de los procesos.
Ejemplos:
- En la producción farmacéutica, el ANOVA puede ayudar a comparar los efectos de distintos procesos de formulación sobre la eficacia de un fármaco.
- En electrónica, se utiliza para comprobar si la variación en las tasas de fallo de los circuitos impresos se debe a diferentes lotes de materias primas.
Cómo hacer un ANOVA en pocas palabras
1. Defina los grupos o tratamientos que desea comparar y recoja datos de cada grupo. 2. Calcule
2. Utilice estos valores para calcular el estadístico F (véase a la derecha), que es la relación entre la varianza entre los grupos y la varianza dentro de los grupos. 3. Compare el estadístico F con un valor crítico de la tabla de distribución F a un nivel de significación elegido (como 0,05). 4. Resultado: si el estadístico F supera el valor crítico, se concluye que existen diferencias significativas entre las medias de los grupos. | El estadístico F: La F corresponde al Cuadrado medio entre grupos (MSB) dividido por Cuadrado medio dentro de los grupos (MSW) Prácticamente: \(F = \frac{ \frac{SSB}{k-1} }{ \frac{SSW}{N-k} }\) SSB = Suma de cuadrados entre grupos |
La prueba Chi-cuadrado
La prueba Chi-cuadrado, introducida por Karl Pearson en 1900, revolucionó las pruebas estadísticas de hipótesis al proporcionar un método para determinar si existe una diferencia significativa entre las frecuencias esperadas y observadas en datos categóricos. En calidad e ingeniería, ayuda a evaluar si las desviaciones en los atributos de un proceso o producto se producen por casualidad o sugieren un problema sistémico.
Propósito: la prueba Chi-cuadrado comprueba si las diferencias entre los resultados observados y los previstos en las mediciones de calidad se deben a una variación aleatoria o indican un problema específico que hay que abordar.
Ejemplos prácticos en la industria
- Defectos de fabricación: comprobar si la distribución de productos defectuosos entre los distintos turnos o máquinas es uniforme, y si determinados turnos tienen una tasa de defectos significativamente mayor.
- Calidad del proveedor: comparación de los resultados de calidad (por ejemplo, índices de aprobados/fallos) de los componentes de varios proveedores para determinar si las piezas de un proveedor tienen estadísticamente más probabilidades de fallar.
- Reclamaciones de los clientes: analizar si los tipos o la frecuencia de las reclamaciones de los clientes se distribuyen aleatoriamente a lo largo del año, o están asociados a momentos, productos o regiones específicos.
Cómo realizar la prueba chi-cuadrado
- Recopile los datos observados y determine las frecuencias esperadas para cada categoría bajo la hipótesis nula.
- Utilice la fórmula Chi-cuadrado: Χ² = Σ[(O - E)² / E] donde O es observado, E es esperado.
- Compare el valor Chi-cuadrado calculado con un valor crítico de la tabla Chi-cuadrado con los grados de libertad adecuados.
- Resultado: si el valor supera el valor de la tabla, concluya que existe una diferencia estadísticamente significativa.
Chi-Cuadrado Ejemplo Completo: Equidad de un Dado
| i | Oi | Ei | Oi-Ei | (Oi-Ei)2 |
| 1 | 5 | 10 | -5 | 25 |
| 2 | 8 | 10 | -2 | 4 |
| 3 | 9 | 10 | -1 | 1 |
| 4 | 8 | 10 | -2 | 4 |
| 5 | 10 | 10 | 0 | 0 |
| 6 | 20 | 10 | 10 | 100 |
| Suma | 134 | |||
Este ejemplo completo está tomado de Artículo de Wikipedia Chi-cuadrado.
Experiencia: se lanza un dado de 6 caras 60 veces. El número de veces que cae boca arriba en 1, 2, 3, 4, 5, 6 es 5, 8, 9, 8, 10 y 20, respectivamente.
Pregunta: ¿está sesgado el dado, según la prueba chi-cuadrado de Pearson a un nivel de significación de 95% y/o 99%?
La hipótesis nula es que el dado es insesgado, por lo que se espera que cada número ocurra el mismo número de veces, en este caso, 60/n = 10.
Los resultados pueden tabularse como a la derecha:
| Grados de libertad | Probabilidad inferior al valor crítico | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 0.90 | 0.95 | 0.975 | 0.99 | 0.999 | |
| 5 | 9.236 | 11.070 | 12.833 | 15.086 | 20.515 |
Si se observa una tabla de valores críticos de la cola superior de la distribución chi-cuadrado (tabla enlazada en el tutorial anterior), el valor tabular se refiere a la suma de las variables al cuadrado dividida cada una por los resultados esperados.
Para este ejemplo, esto significa χ2=25/10+4/10+1/10+4/10+0/10+100/10=13,4
Conclusión de la prueba: este 13.4 es el resultado experimental cuya improbabilidad (con un dado justo) deseamos estimar, con un significación o confianza entre 97.5% y 99%
Capacidad de proceso (Cp, Cpk, Pp, Ppk)
Aunque no se trata de una prueba estadística propiamente dicha, estos 4 ratios evalúan en qué medida un proceso cumple las especificaciones, convirtiéndose así en una herramienta fundamental para mantener y mejorar los estándares de calidad en la fabricación.
El análisis de la capacidad de los procesos se originó a principios del siglo XX con el auge del control estadístico de la calidad en la fabricación, impulsado por figuras como Walter Shewhart. Sus métodos evolucionaron con el crecimiento de Seis Sigma y la Gestión de la Calidad Total (GCT) a finales del siglo XX como piedra angular de la ingeniería de la calidad moderna.
Propósito: El análisis de la capacidad del proceso evalúa hasta qué punto un proceso puede producir resultados dentro de unos límites especificados (tolerancias). Cuantifica la variabilidad de un proceso en relación con las especificaciones de diseño y determina la probabilidad de producir productos defectuosos. El análisis ayuda a identificar oportunidades de mejora del proceso y garantiza que los productos cumplan siempre los requisitos del cliente.
Cp, Cpk y pruebas estadísticas en la industria
- Fabricación de automóviles: las pruebas estadísticas y estas 4 relaciones se utilizan para comprobar si el diámetro de los pistones del motor se mantiene siempre dentro de unos límites de tolerancia estrictos, lo que garantiza la compatibilidad y reduce los fallos del motor.
- Industria farmacéutica: se aplica para verificar que el peso de llenado de comprimidos o cápsulas cumple sistemáticamente las normas reglamentarias y de calidad, minimizando los riesgos de infradosificación o sobredosificación.
- Fabricación de semiconductores: se emplea para controlar el grosor de los revestimientos de las obleas, lo que garantiza la fiabilidad y el rendimiento en la producción de microchips.
Cómo calcular Cp, Cpk, Pp y Ppk
Cp: Capacidad de proceso
| \(Cp = \frac{USL – LSL}{6\sigma}\) | USL = Límite superior de especificación LSL = Límite inferior de especificación σ = desviación estándar (estimada normalmente a partir de la variación dentro de un subgrupo) |
Cpk: Índice de capacidad de proceso
| \(Cpk = \min\left(\frac{USL – \mu}{3\sigma}, \frac{\mu – LSL}{3\sigma}\right)\) | \(\mu\) = process mean |
Pp: Rendimiento del proceso
| \(Pp = \frac{USL – LSL}{6s}\) | \(s\) = overall standard deviation (includes both within and between subgroup variations; used over a longer period) |
Ppk: Índice de rendimiento del proceso
| \(Ppk = \min\left(\frac{USL – \bar{x}}{3s}, \frac{\bar{x} – LSL}{3s}\right)\) | \(\bar{x}\) = overall mean |
Cómo concluir con los valores Cp, Cpk, Pp, Ppk
- Cp, Pp: si >1, el proceso tiene potencial para cumplir las especificaciones; los valores ≥1,33 se consideran generalmente capaces, dependiendo de su industria y de la criticidad de su aplicación exacta.
- Cpk, Ppk: reflejan lo centrado que está el proceso dentro de las especificaciones; cuanto más se acerquen Cpk/Ppk a Cp/Pp, más centrado estará el proceso.
- Si Cpk o Ppk <1, es probable que una parte significativa de la producción esté fuera de la especificación; es necesario mejorar el proceso.
- Un índice más alto indica un proceso más capaz (y, por lo general, de mayor calidad).
Conclusión y dificultades
Las pruebas estadísticas son herramientas poderosas en el análisis de datos, pero su uso exige tanto una sólida comprensión teórica como un juicio crítico y una adaptación al mundo real, lejos de limitarse a una instalación de software estadístico o a unas normas de SGC.
- Comprender los supuestos y los selegir la prueba adecuadaToda prueba estadística se basa en una serie de supuestos (por ejemplo, normalidad de los datos, igualdad de varianzas, independencia de las observaciones). Si estos supuestos se incumplen o una prueba inadecuada elegido, los resultados de la prueba pueden ser inválidos o engañosos.
- Desorden en el mundo real & bl contexto empresarial importaLos datos industriales a menudo violan los supuestos de las pruebas (por ejemplo, no normalidad, autocorrelación). Aplicar ciegamente las pruebas de los libros de texto puede dar lugar a análisis completamente erróneos.
- Problemas de calidad de los datos: los errores de medición, los valores atípicos y los datos que faltan son habituales en las pruebas estadísticas industriales y deben abordarse y documentarse antes de realizar las pruebas.
Para diseño de productos so as for quality, put your effort where needed: “Sometimes, results are statistically significant but have negligible practical impact, or vice versa”
Enlaces externos sobre pruebas estadísticas de calidad
Normas internacionales
- ISO 9001: 2015 Sistemas de gestión de la calidad - Requisitos
- ISO 17025: 2017 Requisitos generales para la competencia de los laboratorios de ensayo y calibración.
- ISO 3534-1: 2006 Estadística - Vocabulario y símbolos - Parte 1. Términos estadísticos generales utilizados en probabilidad: Términos estadísticos generales y términos utilizados en probabilidad
(pase el ratón por el enlace para ver nuestra descripción del contenido)
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