Differenzierbare Mannigfaltigkeiten (geom)

Eine grundlegende lineare parabolische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die die Wärmeverteilung oder andere Diffusionsprozesse beschreibt. Ihre kanonische Form lautet [latex]\frac{partial u}{partial t} = \alpha \nabla^2 u[/latex], wobei [latex]u(\vec{x},t)[/latex] die Temperatur, [latex]t[/latex] die Zeit und [latex]\alpha[/latex] die Temperaturleitfähigkeit ist. Die Lösungen modellieren, wie sich eine anfängliche Temperaturverteilung entwickelt, indem sie Unregelmäßigkeiten im Laufe der Zeit ausgleichen und sich einem stabilen Zustand annähern.

Eine fundamentale Lösung eines linearen partiellen Differentialoperators [latex]L[/latex] ist eine Lösung der Gleichung [latex]Lu = delta(x)[/latex], wobei [latex]delta(x)[/latex] die Dirac-Delta-Funktion ist. Sie stellt die Reaktion des Systems auf eine Punktquelle oder einen Impuls dar. Ist die Lösung der inhomogenen Gleichung [latex]Lu = f(x)[/latex] bekannt, kann sie durch Faltung gefunden werden: [latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], wobei [latex]G[/latex] die Grundlösung ist.

Die Gesetze von De Morgan sind zwei Transformationsregeln der Booleschen Algebra, die für die Entwicklung digitaler Schaltungen von grundlegender Bedeutung sind. Das erste Gesetz besagt, dass die Negation einer Konjunktion die Disjunktion der Negationen ist: [latex]\neg(P \land Q) \iff (\neg P) \lor (\neg Q)[/latex]. Die zweite besagt, dass die Negation einer Disjunktion die Konjunktion der Negationen ist: [latex]\neg(P \lor Q) \iff (\neg P) \land (\neg Q)[/latex].

Die digitale Elektronik basiert auf der Booleschen Algebra, einem von George Boole eingeführten mathematischen System der Logik. Sie verwendet zwei Werte, in der Regel 0 und 1 (oder falsch und wahr), und drei Grundoperationen: UND (Konjunktion), ODER (Disjunktion) und NICHT (Negation). Diese Operationen entsprechen direkt den Logikgattern, die die Bausteine aller digitalen Schaltungen bilden.

Dieses Theorem besagt, dass es für jede stetige Funktion [latex]f[/latex], die eine kompakte konvexe Menge auf sich selbst abbildet, einen Punkt [latex]x_0[/latex] gibt, für den gilt: [latex]f(x_0) = x_0[/latex]. Diesen Punkt nennt man einen Fixpunkt. Nimmt man eine Landkarte eines Landes, zerknüllt sie und platziert sie innerhalb der Landesgrenzen, so gibt es immer mindestens einen Punkt auf der Karte, der direkt über dem entsprechenden realen Punkt liegt.

Die Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung (CFL) ist ein notwendiges Stabilitätskriterium für numerische Lösungen von hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen mit expliziten Zeitintegrationsverfahren. Sie besagt, dass die Zeitschrittweite so klein sein muss, dass die Information nicht weiter als eine räumliche Gitterzelle pro Zeitschritt wandert. Für einen 1D-Fall ist [latex]C = u \frac{\Delta t}{\Delta x} \le C_{max}[/latex], was die numerische Stabilität gewährleistet.

Eine lineare elliptische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die Systeme in einem stationären Zustand oder im Gleichgewicht beschreibt. Sie wird geschrieben als [latex]nabla^2 u = 0[/latex] oder [latex]Delta u = 0[/latex], wobei [latex]nabla^2[/latex] (oder [latex]Delta[/latex]) der Laplace-Operator ist. Lösungen, so genannte harmonische Funktionen, sind die glattesten möglichen Funktionen und stellen Potenziale in Bereichen wie Elektrostatik, Gravitation und Flüssigkeitsströmung dar.

Das Theorema Egregium (lateinisch für "bemerkenswerter Satz") besagt, dass die Gaußsche Krümmung einer Oberfläche eine intrinsische Eigenschaft ist. Das bedeutet, dass sie nur davon abhängt, wie Abstände auf der Oberfläche selbst gemessen werden, und nicht davon, wie die Oberfläche in den dreidimensionalen Raum eingebettet ist. Ein flaches Blatt Papier kann zu einem Zylinder gerollt werden, aber nicht zu einer Kugel, ohne es zu dehnen.

Das Gauß-Bonnet-Theorem verbindet die Geometrie einer kompakten zweidimensionalen Oberfläche mit ihrer Topologie. Er besagt, dass das Integral der Gaußschen Krümmung [latex]K[/latex] über die gesamte Fläche [latex]M[/latex] gleich [latex]2\pi[/latex] mal der Euler-Charakteristik [latex]\chi(M)[/latex] der Fläche ist. Die Formel lautet [latex]\int_M K \, dA = 2\pi \chi(M)[/latex].

Genauigkeit bezieht sich auf die Nähe eines gemessenen Wertes zu einem Standard oder einem bekannten wahren Wert. Präzision bezieht sich darauf, wie nahe zwei oder mehr Messungen beieinander liegen. Ein Messsystem kann präzise, aber nicht genau, genau, aber nicht genau, weder noch oder beides sein. Diese beiden Begriffe sind in der Messtheorie unabhängig voneinander.

Die Riemannsche Geometrie ist der Zweig der Differentialgeometrie, der sich mit Riemannschen Mannigfaltigkeiten befasst – glatten Mannigfaltigkeiten mit einer Riemannschen Metrik. Diese Metrik ist eine Sammlung von inneren Produkten auf den Tangentialräumen, die von Punkt zu Punkt gleichmäßig variieren. Sie ermöglicht die Definition lokaler geometrischer Begriffe wie Winkel, Kurvenlänge, Oberfläche und Volumen, was zu einem verallgemeinerten Krümmungsbegriff führt.

Ein Homöomorphismus ist eine stetige Funktion zwischen zwei topologischen Räumen, die eine stetige Umkehrfunktion hat. Zwei topologische Räume werden als homöomorph bezeichnet, wenn eine solche Funktion existiert. Aus topologischer Sicht sind homöomorphe Räume identisch. Hinter diesem Begriff verbirgt sich die Vorstellung, dass ein Objekt in ein anderes gestreckt, gebogen oder verformt werden kann, ohne zu zerreißen oder zu verkleben, wie ein Kaffeebecher in einen Donut.

Ein topologischer Raum ist ein geordnetes Paar [latex](X, \tau)[/latex], wobei [latex]X[/latex] eine Menge und [latex]\tau[/latex] eine Sammlung von Teilmengen von [latex]X[/latex], so genannte offene Mengen, ist, die drei Axiome erfüllen: 1) Die leere Menge [latex]\emptyset[/latex] und [latex]X[/latex] selbst sind in [latex]\tau[/latex]. 2) Die Vereinigung einer beliebigen Anzahl von Mengen in [latex]\tau[/latex] ist auch in [latex]\tau[/latex]. 3) Die Schnittmenge einer beliebigen endlichen Anzahl von Mengen in [latex]\tau[/latex] ist auch in [latex]\tau[/latex].

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist ein leistungsstarkes numerisches Verfahren zur Lösung komplexer technischer und physikalischer Probleme, die durch partielle Differentialgleichungen beschrieben werden. Dabei wird ein kontinuierlicher Bereich in kleinere, einfachere Unterbereiche, sogenannte „Finite Elemente“, diskretisiert. Dies ermöglicht die approximative numerische Lösung von Problemen der Strukturanalyse, der Wärmeübertragung, der Strömungslehre und des Elektromagnetismus.