(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)
अविभाज्य विधि के नाम से भी जाना जाने वाला यह सिद्धांत कहता है कि यदि दो समांतर तलों के बीच स्थित दो ठोसों में यह गुण हो कि उन दोनों तलों के समांतर प्रत्येक तल उन्हें समान क्षेत्रफल वाले अनुप्रस्थ काटों से काटता है, तो दोनों ठोसों का आयतन बराबर होता है। यह कैलकुलस के बिना जटिल आकृतियों के आयतन की गणना करने की एक शक्तिशाली विधि प्रदान करता है।
कैवेलियरी का सिद्धांत त्रि-आयामी वस्तुओं के आयतन को निर्धारित करने का एक सरल और सहज तरीका प्रदान करता है। यह किसी ठोस को अनंत संख्या में अत्यंत पतले अनुप्रस्थ काटों, या "अविभाज्य" भागों में विभाजित करने के विचार को औपचारिक रूप देता है। मूल विचार यह है कि यदि आपके पास दो ठोस हैं, और प्रत्येक संभव ऊँचाई के लिए, पहले ठोस का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल दूसरे ठोस के अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल के बराबर है, तो उनका कुल आयतन समान होना चाहिए। यह दो सिक्कों के ढेर की तुलना करने जैसा है; यदि एक ढेर में प्रत्येक सिक्के का क्षेत्रफल दूसरे ढेर में संबंधित सिक्के के क्षेत्रफल के बराबर है, तो धातु का कुल आयतन समान होगा, चाहे ढेर किसी भी तरह से तिरछे रखे हों या व्यवस्थित हों।
A classic application of this principle is to find the volume of a sphere. Consider a hemisphere of radius [latex]r[/latex]. Its cross-sectional area at a height [latex]h[/latex] from the base is a circle with area [latex]A = \pi(r’)^2[/latex]. By the Pythagorean theorem, [latex]h^2 + (r’)^2 = r^2[/latex], so [latex](r’)^2 = r^2 – h^2[/latex]. Thus, the area is [latex]A = \pi(r^2 – h^2)[/latex]. Now, consider a cylinder of radius [latex]r[/latex] and height [latex]r[/latex], with an inverted cone of the same radius and height removed from its center. The cross-sectional area of this shape at height [latex]h[/latex] is the area of the larger circle (from the cylinder) minus the area of the smaller circle (from the cone). This gives [latex]A = \pi r^2 – \pi h^2 = \pi(r^2 – h^2)[/latex].
चूंकि प्रत्येक ऊंचाई h पर अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल समान होता है, कैवेलियरी का सिद्धांत कहता है कि अर्धगोले का आयतन बेलन-घटा शंकु के आयतन के बराबर होता है। बेलन का आयतन πr² ⋅r = πr³ है, और शंकु का आयतन 1/3 πr² ⋅r = 1/3 πr³ है। अतः, अर्धगोले का आयतन 1/3 πr³ = 2/3 πr³ है। पूर्ण गोले का आयतन इसका दुगुना है, अर्थात् 4/3 πr³। 17वीं शताब्दी में बोनावेंटुरा कैवेलियरी द्वारा विकसित यह विधि, समाकलन कैलकुलस के विकास की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम थी। न्यूटन और लाइबनिज़।
कैवलियरी का सिद्धांत
(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)
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