बेयस प्रमेय

पाइथागोरस प्रमेय कार्तीय निर्देशांकों में दूरी सूत्र का आधार प्रदान करता है। एक समतल में दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी d को √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² द्वारा दर्शाया जाता है। यह सूत्र समकोण त्रिभुज पर प्रमेय का सीधा अनुप्रयोग है, जिसकी भुजाएँ x और y निर्देशांकों का अंतर होती हैं।

यह गणित में ऐतिहासिक रूप से उल्लेखनीय समस्या है। लियोनहार्ड यूलर द्वारा 1736 में इसका नकारात्मक समाधान ग्राफ सिद्धांत की नींव रखने और टोपोलॉजी के विचार का पूर्वाभास देने वाला साबित हुआ। इस समस्या में पूछा गया था कि क्या कोनिग्सबर्ग शहर के सातों पुलों को बिना वापस लौटे एक ही यात्रा में पार किया जा सकता है, और यात्रा उसी भूभाग पर समाप्त हो जहाँ से शुरू हुई थी।

टोपोलॉजी और ज्यामिति में एक मूलभूत प्रमेय यह बताता है कि किसी भी उत्तल बहुफलक के लिए, शीर्षों (V), किनारों (E) और फलकों (F) की संख्या के बीच संबंध सूत्र [latex]V - E + F = 2[/latex] द्वारा निर्धारित होता है। यह मान, 2, गोले का यूलर अभिलक्षण है, जो बहुफलक के विशिष्ट आकार से स्वतंत्र एक गहन टोपोलॉजिकल गुण को प्रकट करता है।

एक द्वितीय-कोटि रैखिक दीर्घवृत्तीय आंशिक अवकल समीकरण जो स्थिर अवस्था या संतुलन की स्थिति में प्रणालियों का वर्णन करता है। इसे [latex]nabla^2[/latex] या [latex]Delta u = 0[/latex] के रूप में लिखा जाता है, जहाँ [latex]nabla^2[/latex] (या [latex]Delta[/latex]) लाप्लास ऑपरेटर है। इसके हल, जिन्हें हार्मोनिक फलन कहा जाता है, सबसे सहज फलन होते हैं और विद्युतस्थैतिकी, गुरुत्वाकर्षण और द्रव प्रवाह जैसे क्षेत्रों में विभव का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अतिनिर्धारित प्रणालियों के समाधानों का अनुमान लगाने के लिए एक मानक दृष्टिकोण यह है कि मॉडल पैरामीटर ज्ञात किए जाएं जो प्रेक्षित और अनुमानित मानों के बीच वर्ग अंतर के योग को न्यूनतम करते हैं। इस योग को वर्ग अवशेषों का योग (SSR) कहा जाता है। लक्ष्य उन पैरामीटरों [latex]hat{beta}[/latex] को ज्ञात करना है जो फलन [latex]S(beta) = sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T beta)^2[/latex] को न्यूनतम करते हैं।

यह एक मूलभूत द्वितीय-कोटि रैखिक परवलयिक आंशिक अवकल समीकरण है जो ऊष्मा वितरण या अन्य विसरण प्रक्रियाओं का वर्णन करता है। इसका मानक रूप [latex]frac{partial u}{partial t} = alpha nabla^2 u[/latex] है, जहाँ [latex]u(vec{x},t)[/latex] तापमान है, [latex]t[/latex] समय है, और [latex]alpha[/latex] तापीय विसरणशीलता है। इसके हल यह दर्शाते हैं कि प्रारंभिक तापमान वितरण समय के साथ कैसे विकसित होता है, अनियमितताओं को कम करता है और स्थिर अवस्था की ओर बढ़ता है।

कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए एक बीजगणितीय मॉडल प्रदान करती है। यह अंतरिक्ष में किसी बिंदु की स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए एक या अधिक संख्याओं, या निर्देशांकों का उपयोग करती है। एक समतल में, दो लंबवत रेखाओं (x-अक्ष और y-अक्ष) का उपयोग किया जाता है, जिससे ज्यामितीय आकृतियों को बीजगणितीय समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है। बीजगणित और ज्यामिति के इस संयोजन को विश्लेषणात्मक ज्यामिति के रूप में जाना जाता है।

गणितीय प्रेरण एक ऐसी तकनीक है जिसका उपयोग यह सिद्ध करने के लिए किया जाता है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए एक गुणधर्म P(n) सत्य है। इसमें दो चरण शामिल हैं: आधार चरण, जिसमें P(0) या P(1) सत्य सिद्ध किया जाता है, और प्रेरण चरण, जिसमें यह सिद्ध किया जाता है कि यदि किसी प्राकृतिक संख्या k के लिए P(k) सत्य है (प्रेरण परिकल्पना), तो P(k+1) भी सत्य होगा।

यह द्वितीय क्रम का रैखिक अतिपरवलयिक आंशिक अवकल समीकरण है जो विभिन्न प्रकार की तरंगों के प्रसार को नियंत्रित करता है। इसे सरलतम रूप में [latex]frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 nabla^2 u[/latex] के रूप में लिखा जाता है, जहाँ [latex]u(vec{x},t)[/latex] तरंग का आयाम है, [latex]c[/latex] तरंग की गति है, और [latex]nabla^2[/latex] लाप्लास प्रवर्तक है। यह कंपनशील तार, ध्वनि तरंगें और प्रकाश तरंगें जैसी घटनाओं का प्रतिरूपण करता है।

यूलर अभिलक्षणिका एक टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीयता है, एक संख्या जो किसी टोपोलॉजिकल स्पेस की संरचना या आकार का वर्णन करती है, चाहे उसे किसी भी तरह से मोड़ा जाए। बहुफलकों के लिए, इसे सूत्र [latex]chi = V - E + F[/latex] द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ V, E और F क्रमशः शीर्षों, किनारों और फलकों की संख्या हैं। गोले के लिए, [latex]chi = 2[/latex], जबकि टोरस के लिए, [latex]chi = 0[/latex]।

ज्यामितीय प्रायिकता की सबसे प्रारंभिक समस्याओं में से एक, इसे मोंटे कार्लो विधि का अग्रदूत माना जाता है। इसमें [latex]l[/latex] लंबाई की एक सुई को [latex]t[/latex] दूरी पर स्थित समानांतर रेखाओं वाले फर्श पर गिराया जाता है। सुई द्वारा किसी रेखा को पार करने की प्रायिकता [latex]P = frac{2l}{pi t}[/latex] है (जहाँ [latex]l le t[/latex] है)। यह [latex]pi[/latex] का अनुमान लगाने के लिए एक भौतिक प्रयोग प्रदान करता है।

पारसेवल प्रमेय किसी सिग्नल की कुल ऊर्जा (एक आवर्तकाल में उसके वर्ग का समाकलन) को उसके फूरियर श्रृंखला घटकों की वर्ग ऊर्जाओं के योग से संबंधित करता है। आवर्तकाल P वाले फलन s(x) के लिए, प्रमेय कहता है: ∫P |s(x)|² , dx = ∫n=-∞ |c₁₂|², जहाँ c₁₂ जटिल फूरियर गुणांक हैं।

बेयसियन अनुमान एक सांख्यिकीय विधि है जिसमें बेयस प्रमेय का उपयोग परिकल्पना की प्रायिकता को अद्यतन करने के लिए किया जाता है, जैसे-जैसे अधिक साक्ष्य या जानकारी उपलब्ध होती है। यह बेयसियन सांख्यिकी का एक केंद्रीय सिद्धांत है। मूल विचार इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: पश्च प्रायिकता, पूर्व प्रायिकता और संभावना के गुणनफल के समानुपाती होती है, [latex]p(theta|D) propto p(D|theta)p(theta)[/latex], जहाँ [latex]theta[/latex] पैरामीटर है और D डेटा है।

फूरियर श्रृंखला किसी भी आवधिक फलन या संकेत को सरल दोलनशील फलनों, अर्थात् साइन और कोसाइन के योग में विघटित करती है। आवर्तकाल P वाले फलन s(x) के लिए, श्रृंखला निम्न प्रकार से दी जाती है: s(x) → a₀/2 + √n₁₈[a₁ cos(2πnx) + b₁ sin(2πnx)]। यहाँ a₁ और b₁ फूरियर गुणांक हैं।