(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)
एक द्वितीय-क्रम रैखिक अतिपरवलयिक आंशिक विभेदक यह समीकरण विभिन्न प्रकार की तरंगों के प्रसार को नियंत्रित करता है। इसे सरलतम रूप में [latex]frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 nabla^2 u[/latex] के रूप में लिखा जाता है, जहाँ [latex]u(vec{x},t)[/latex] तरंग का आयाम है, [latex]c[/latex] तरंग की गति है, और [latex]nabla^2[/latex] तरंग का घनत्व है। लाप्लास यह एक ऑपरेटर है। यह कंपन करने वाली तारों, ध्वनि तरंगों और प्रकाश तरंगों जैसी घटनाओं का मॉडल तैयार करता है।
तरंग समीकरण एक विशिष्ट अतिपरवलयिक पीडीई है। इसके विपरीत, ऊष्मा समीकरणयह समय के सापेक्ष द्वितीय-कोटि का है, जिसके कारण इसके दोलनशील, तरंग-समान समाधान उत्पन्न होते हैं। [latex]frac{partial^2 u}{partial t^2}[/latex] पद की उपस्थिति यह दर्शाती है कि त्वरण फलन की स्थानीय वक्रता के समानुपाती है, जो कि किसी डोरी में तनाव जैसे पुनर्स्थापनात्मक बलों का विशिष्ट संबंध है। स्थिरांक [latex]c[/latex] उस परिमित गति को दर्शाता है जिस पर विक्षोभ माध्यम से प्रसारित होते हैं।
तरंग समीकरण की एक महत्वपूर्ण विशेषता कार्य-कारण का सिद्धांत और परिमित प्रसार गति है। समय t₀ पर किसी बिंदु x₀ पर उत्पन्न विक्षोभ केवल बाद के समय t पर उन बिंदुओं x को प्रभावित कर सकता है जो c(t-t₀) की दूरी के भीतर स्थित हों। इस क्षेत्र को 'प्रभाव क्षेत्र' कहा जाता है। इसके विपरीत, (x, t) पर हल का मान केवल इसके 'निर्भरता क्षेत्र' के भीतर प्रारंभिक डेटा पर निर्भर करता है। यह ऊष्मा समीकरण की अनंत प्रसार गति के बिल्कुल विपरीत है।
एक स्थानिक आयाम में, समीकरण u₁tt = c² u₂xx का एक अत्यंत सरल सामान्य हल है, जिसे एलेम्बर्ट ने खोजा था: u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct)। यह विपरीत दिशाओं में c गति से यात्रा करने वाली दो तरंगों के अध्यारोपण को दर्शाता है। इन तरंगों के आकार, जो फलनों F और G द्वारा निर्धारित होते हैं, उनके प्रसार के दौरान संरक्षित रहते हैं।
तरंग समीकरण (भौतिकी)
(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)
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