तरंग समीकरण (भौतिकी)

टॉलेमी का प्रमेय त्रिकोणमिति में योग और अंतर सूत्रों के लिए एक सुंदर ज्यामितीय प्रमाण प्रदान करता है। एक चतुर्भुज को एक वृत्त में इस प्रकार अंकित करके कि उसकी एक भुजा व्यास हो, भुजाओं की लंबाई को अंतर्निहित कोणों के साइन और कोसाइन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। प्रमेय [latex]AC cdot BD = AB cdot CD + BC cdot DA[/latex] को सीधे लागू करने पर [latex]sin(alpha + beta) = sinalphacosbeta + cosalphasinbeta[/latex] जैसी सर्वसमिकाएँ प्राप्त होती हैं।

कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए एक बीजगणितीय मॉडल प्रदान करती है। यह अंतरिक्ष में किसी बिंदु की स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए एक या अधिक संख्याओं, या निर्देशांकों का उपयोग करती है। एक समतल में, दो लंबवत रेखाओं (x-अक्ष और y-अक्ष) का उपयोग किया जाता है, जिससे ज्यामितीय आकृतियों को बीजगणितीय समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है। बीजगणित और ज्यामिति के इस संयोजन को विश्लेषणात्मक ज्यामिति के रूप में जाना जाता है।

गणितीय प्रेरण एक ऐसी तकनीक है जिसका उपयोग यह सिद्ध करने के लिए किया जाता है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए एक गुणधर्म P(n) सत्य है। इसमें दो चरण शामिल हैं: आधार चरण, जिसमें P(0) या P(1) सत्य सिद्ध किया जाता है, और प्रेरण चरण, जिसमें यह सिद्ध किया जाता है कि यदि किसी प्राकृतिक संख्या k के लिए P(k) सत्य है (प्रेरण परिकल्पना), तो P(k+1) भी सत्य होगा।

यूलर अभिलक्षणिका एक टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीयता है, एक संख्या जो किसी टोपोलॉजिकल स्पेस की संरचना या आकार का वर्णन करती है, चाहे उसे किसी भी तरह से मोड़ा जाए। बहुफलकों के लिए, इसे सूत्र [latex]chi = V - E + F[/latex] द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ V, E और F क्रमशः शीर्षों, किनारों और फलकों की संख्या हैं। गोले के लिए, [latex]chi = 2[/latex], जबकि टोरस के लिए, [latex]chi = 0[/latex]।

ज्यामितीय प्रायिकता की सबसे प्रारंभिक समस्याओं में से एक, इसे मोंटे कार्लो विधि का अग्रदूत माना जाता है। इसमें [latex]l[/latex] लंबाई की एक सुई को [latex]t[/latex] दूरी पर स्थित समानांतर रेखाओं वाले फर्श पर गिराया जाता है। सुई द्वारा किसी रेखा को पार करने की प्रायिकता [latex]P = frac{2l}{pi t}[/latex] है (जहाँ [latex]l le t[/latex] है)। यह [latex]pi[/latex] का अनुमान लगाने के लिए एक भौतिक प्रयोग प्रदान करता है।

पारसेवल प्रमेय किसी सिग्नल की कुल ऊर्जा (एक आवर्तकाल में उसके वर्ग का समाकलन) को उसके फूरियर श्रृंखला घटकों की वर्ग ऊर्जाओं के योग से संबंधित करता है। आवर्तकाल P वाले फलन s(x) के लिए, प्रमेय कहता है: ∫P |s(x)|² , dx = ∫n=-∞ |c₁₂|², जहाँ c₁₂ जटिल फूरियर गुणांक हैं।

पाइथागोरस प्रमेय यूक्लिड ज्यामिति में समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं के बीच एक मूलभूत संबंध है। यह बताता है कि जिस वर्ग की भुजा कर्ण (समकोण के सामने वाली भुजा) होती है, उसका क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर बने वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। सूत्र को [latex]a^2 + b^2 = c^2[/latex] के रूप में व्यक्त किया जाता है।

अविभाज्य विधि के नाम से भी जाना जाने वाला यह सिद्धांत कहता है कि यदि दो समांतर तलों के बीच स्थित दो ठोसों में यह गुण हो कि उन दोनों तलों के समांतर प्रत्येक तल उन्हें समान क्षेत्रफल वाले अनुप्रस्थ काटों से काटता है, तो दोनों ठोसों का आयतन बराबर होता है। यह कैलकुलस के बिना जटिल आकृतियों के आयतन की गणना करने की एक शक्तिशाली विधि प्रदान करता है।

पाइथागोरस प्रमेय कार्तीय निर्देशांकों में दूरी सूत्र का आधार प्रदान करता है। एक समतल में दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी d को √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² द्वारा दर्शाया जाता है। यह सूत्र समकोण त्रिभुज पर प्रमेय का सीधा अनुप्रयोग है, जिसकी भुजाएँ x और y निर्देशांकों का अंतर होती हैं।

यह गणित में ऐतिहासिक रूप से उल्लेखनीय समस्या है। लियोनहार्ड यूलर द्वारा 1736 में इसका नकारात्मक समाधान ग्राफ सिद्धांत की नींव रखने और टोपोलॉजी के विचार का पूर्वाभास देने वाला साबित हुआ। इस समस्या में पूछा गया था कि क्या कोनिग्सबर्ग शहर के सातों पुलों को बिना वापस लौटे एक ही यात्रा में पार किया जा सकता है, और यात्रा उसी भूभाग पर समाप्त हो जहाँ से शुरू हुई थी।

टोपोलॉजी और ज्यामिति में एक मूलभूत प्रमेय यह बताता है कि किसी भी उत्तल बहुफलक के लिए, शीर्षों (V), किनारों (E) और फलकों (F) की संख्या के बीच संबंध सूत्र [latex]V - E + F = 2[/latex] द्वारा निर्धारित होता है। यह मान, 2, गोले का यूलर अभिलक्षण है, जो बहुफलक के विशिष्ट आकार से स्वतंत्र एक गहन टोपोलॉजिकल गुण को प्रकट करता है।

बेयस प्रमेय किसी घटना की प्रायिकता का वर्णन उन पूर्व ज्ञान के आधार पर करता है जो उस घटना से संबंधित हो सकती हैं। यह प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में एक मूलभूत अवधारणा है। गणितीय रूप से, इसे [latex]P(A|B) = frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex] के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ A और B घटनाएँ हैं और [latex]P(B) neq 0[/latex]। यह दो यादृच्छिक घटनाओं की सशर्त और सीमांत प्रायिकताओं को आपस में जोड़ता है।

एक द्वितीय-कोटि रैखिक दीर्घवृत्तीय आंशिक अवकल समीकरण जो स्थिर अवस्था या संतुलन की स्थिति में प्रणालियों का वर्णन करता है। इसे [latex]nabla^2[/latex] या [latex]Delta u = 0[/latex] के रूप में लिखा जाता है, जहाँ [latex]nabla^2[/latex] (या [latex]Delta[/latex]) लाप्लास ऑपरेटर है। इसके हल, जिन्हें हार्मोनिक फलन कहा जाता है, सबसे सहज फलन होते हैं और विद्युतस्थैतिकी, गुरुत्वाकर्षण और द्रव प्रवाह जैसे क्षेत्रों में विभव का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अतिनिर्धारित प्रणालियों के समाधानों का अनुमान लगाने के लिए एक मानक दृष्टिकोण यह है कि मॉडल पैरामीटर ज्ञात किए जाएं जो प्रेक्षित और अनुमानित मानों के बीच वर्ग अंतर के योग को न्यूनतम करते हैं। इस योग को वर्ग अवशेषों का योग (SSR) कहा जाता है। लक्ष्य उन पैरामीटरों [latex]hat{beta}[/latex] को ज्ञात करना है जो फलन [latex]S(beta) = sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T beta)^2[/latex] को न्यूनतम करते हैं।