مشكلة إبرة بوفون

الاستقراء الرياضي هو تقنية تستخدم لإثبات أن الخاصية [latex]P(n)[/latex] تنطبق على كل عدد طبيعي [latex]n[/latex]. وهي تتضمن خطوتين: الحالة الأساسية، التي تثبت صحة [latex]P(0)[/latex] أو [latex]P(1)[/latex]، والخطوة الاستقرائية، التي تثبت أنه إذا كان [latex]P(k)[/latex] صحيحًا لبعض الأعداد الطبيعية [latex]k[/latex] (فرضية الاستقراء)، فإن [latex]P(k+1)[/latex] يكون صحيحًا أيضًا.

معادلة تفاضلية جزئية خطية زائدية قطعية خطية من الرتبة الثانية تحكم انتشار أنواع مختلفة من الموجات. تُكتَب في أبسط صورها على الصورة [latex]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2\nabla^2 u[/latex]، حيث [latex]u(\vec{x},t)[/latex] هي سعة الموجة، و[latex]c[/latex] هي سرعة الموجة، و[latex]\nabla^2[/latex] هي مشغل لابلاس. وهي تمثّل ظواهر مثل الأوتار الاهتزازية والموجات الصوتية والموجات الضوئية.

خاصية أويلر هي متغير طوبولوجي، وهو رقم يصف بنية الفضاء الطوبولوجي أو شكله بغض النظر عن كيفية ثنيه. بالنسبة إلى متعددات الوجوه، تُعرَّف بالصيغة [latex]\chi = V - E + F[/latex]، حيث V وE وF هي عدد الرءوس والأحرف والأوجه، على التوالي. بالنسبة إلى الكرة، [latex]\chi = 2[/latex]، بينما بالنسبة إلى الطور، [latex]\chi = 0[/latex].

تربط نظرية بارسفال الطاقة الكلية للإشارة (تكامل مربعها على مدى فترة واحدة) بمجموع طاقات مربعات مكونات سلسلة فورييه. بالنسبة للدالة [latex]s(x)[/latex] ذات الفترة [latex]P[/latex]، تنص النظرية على ما يلي: [latex]\frac{1}{P} \int_P |s(x)|^2 , dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2[/latex]، حيث [latex]c_n[/latex] هي معاملات فورييه المركبة.

الاستدلال البايزي هو طريقة إحصائية تستخدم فيها نظرية بايز لتحديث احتمالية فرضية ما مع توفر المزيد من الأدلة أو المعلومات. وهو مبدأ أساسي في الإحصاء البايزي. وتتمثل الفكرة الأساسية في أن الاحتمال اللاحق يتناسب مع حاصل ضرب الاحتمال المسبق والاحتمالية، [latex]p(\theta|D) \propto p(D|\theta)p(\theta)[/latex]، حيث [latex]\theta[/latex] هو المعامل و D هي البيانات.

تقوم متسلسلة فورييه بتحليل أي دالة أو إشارة دورية إلى مجموع دوال تذبذبية بسيطة، وهي الدوال الجيبية والكوسينية. بالنسبة للدالة [latex]s(x)[/latex] ذات الفترة [latex]P[/latex]، تكون السلسلة كما يلي [latex]s(x) \approx \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{P}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{P}\right)\right][/latex]. المصطلحات [latex]a_n[/latex] و [latex]b_n[/latex] هي معاملات فورييه.

توفر نظرية فيثاغورس الأساس لصيغة المسافة في الإحداثيات الكارتيزية. المسافة [latex]d[/latex] بين نقطتين [latex](x_1, y_1)[/latex] و [latex](x_2, y_2)[/latex] في مستوى ما تُعطى بالصيغة [latex]d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}[/latex]. هذه الصيغة هي تطبيق مباشر للنظرية على مثلث قائم الزاوية يكون ضلعاه هما الفرقان في إحداثيات x و y.

هذه مشكلة بارزة تاريخياً في الرياضيات. فقد أرسى حلها السلبي من قبل ليونارد أويلر في عام 1736 أسس نظرية الرسم البياني ومهد لفكرة الطوبولوجيا. تساءلت المشكلة عما إذا كان من الممكن اجتياز جسور مدينة كونيغسبرغ السبعة في رحلة واحدة دون العودة إلى الوراء، على أن تنتهي الرحلة على نفس اليابسة التي بدأت بها.

نظرية أساسية في علم الطوبولوجيا والهندسة تنص على أنه بالنسبة لأي متعدد الوجوه محدب، يرتبط عدد الرءوس (V) والأحرف (E) والأوجه (F) بالصيغة [latex]V - E + F = 2[/latex]. هذه القيمة، 2، هي خاصية أويلر للمجسم الكروي، وتكشف عن خاصية طوبولوجية عميقة مستقلة عن الشكل المحدد لمتعدد الأوجه.

يصف نظرية بايز احتمالية وقوع حدث ما بناءً على المعرفة المسبقة بالظروف التي قد تكون مرتبطة بالحدث. وهي مفهوم أساسي في نظرية الاحتمالات والإحصاء. من الناحية الرياضية، يتم التعبير عنه على النحو التالي: [latex]P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex]، حيث A و B هما حدثان و [latex]P(B) \neq 0[/latex]. ويربط بين الاحتمالات الشرطية والهامشية لحدثين عشوائيين.

معادلة تفاضلية جزئية إهليلجية خطية من الرتبة الثانية تصف الأنظمة في حالة استقرار أو حالة توازن. وهي مكتوبة على الصورة [latex]nabla^2 u = 0[/latex] أو [latex]Delta u = 0[/latex]، حيث [latex]nabla^2[/latex] (أو [latex]Delta[/latex]) هو مشغل لابلاس. الحلول التي تُسمى الدوال التوافقية هي أنعم الدوال الممكنة وتمثل الإمكانات في مجالات مثل الكهرباء الساكنة والجاذبية وسريان الموائع.

نهج قياسي لتقريب الحلول للأنظمة المفرطة التحديد من خلال إيجاد معلمات النموذج التي تقلل مجموع الفروق التربيعية بين القيم المرصودة والمتوقعة. يُعرف هذا المجموع باسم مجموع المربعات المتبقية (SSR). والهدف هو إيجاد المعلمات [latex] \{{\beta}[/latex] التي تقلل الدالة [latex]T(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T \beta)^2[/latex].

معادلة تفاضلية جزئية مكافئة خطية أساسية من الدرجة الثانية تصف توزيع الحرارة أو عمليات الانتشار الأخرى. شكلها المتعارف عليه هو [latex] \frac{partial u}{partial t} = \alpha \nabla ^2 u[/latex]، حيث [latex]u(\vec{x},t)[/latex] هي درجة الحرارة، و[latex]TT[/latex] هي الزمن، و[latex]\alpha[/latex] هي الانتشار الحراري. تمثل الحلول نموذجًا لكيفية تطور التوزيع الابتدائي لدرجة الحرارة، مما يخفف من عدم الانتظام بمرور الوقت ويقترب من حالة مستقرة.

يتم حساب معاملات متسلسلة فورييه لدالة [latex]s(x)[/latex] ذات الفترة [latex]P[/latex] باستخدام صيغ التكامل. المكون DC هو [latex]a_0 = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) , dx[/latex]. معاملات جيب التمام هي [latex]a_n = \frac{2}{P} int_{P} s(x) \cos\left(\frac{2pi n x}{P}\right) , dx[/latex]، ومعاملات الجيب هي [latex]b_n = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{P}\right) ، dx[/latex] لـ [latex]n ge 1[/latex].