古典的なイラスト モンテカルロ法 円周率πの値を推定します。半径rの円を辺の長さ2rの正方形に内接させると、面積比はπr²/(2r)² = π/4となります。 散乱 正方形内の点を数え、円の内側に入る割合 [latex]p[/latex] を数えると、推定値が得られます: [latex]pi approx 4p[/latex]。
円周率のモンテカルロ推定
1950
（画像はイメージです）
The procedure for estimating [latex]\pi[/latex] is straightforward and highlights the core モンテカルロ principle. Consider a unit square in the Cartesian plane with vertices at (0,0), (1,0), (1,1), and (0,1). A quarter circle of radius 1 is inscribed within this square, centered at the origin. The area of the square is 1, and the area of the quarter circle is [latex]\frac{\pi(1)^2}{4} = \frac{\pi}{4}[/latex]. The ratio of the quarter circle’s area to the square’s area is therefore [latex]\frac{\pi}{4}[/latex].
この比率を推定するために、[latex]x[/latex]と[latex]y[/latex]の両方が0から1の間で一様に分布する多数のランダムな点[latex](x, y)[/latex]を[latex]N[/latex]生成します。各点は正方形内のどこにでも着地する確率が等しくなります。点[latex](x, y)[/latex]は、原点からの距離が1以下である場合に四分円内に収まります。これは条件[latex]x^2 + y^2 le 1[/latex]によって決定されます。この条件を満たす点の数[latex]M[/latex]を数えます。比率[latex]frac{M}{N}[/latex]は、面積の比率[latex]frac{pi}{4}[/latex]の推定値です。したがって、[latex]pi[/latex] は [latex]pi approx 4 frac{M}{N}[/latex] と近似できます。大数の法則によれば、[latex]N[/latex] が無限大に近づくにつれて、この近似値は [latex]pi[/latex] の真の値に収束します。しかし、収束は遅く、誤差は [latex]frac{1}{sqrt{N}}[/latex] に比例して減少するため、決定論的アルゴリズムと比較して、高精度で [latex]pi[/latex] を計算するには非常に非効率的な方法です。
UNESCO Nomenclature: 1202
コンピュータサイエンス
タイプ
ソフトウェア／アルゴリズム
混乱
増分
使用法
広く普及している
前駆物質
- 円周率πの概念は、円周と直径の比として定義される。
- デカルト座標 システム
- pythagorean theorem
- 一様確率分布
- 擬似乱数発生器の開発
アプリケーション
- 確率とシミュレーションを教えるための教育ツール
- 乱数発生器の簡単なベンチマーク
- 計算科学コースにおける入門問題
特許:
NA
潜在的なイノベーションのアイデア
- estimating volumes of high-dimensional geometric objects in data analysis
- calculating probabilities of rare events in complex systems
- a simplified method for students to test and visualize the law of large numbers
- developing intuitive interfaces for teaching statistical concepts
- gamified apps that use user-generated randomness to approximate constants
- benchmarking performance of parallel computing architectures
- estimating the area of fractal shapes
- a basis for more complex stochastic geometry algorithms
- visualizing sampling bias in statistical experiments
- creating procedural art based on random point distributions
関連キーワード：円周率、推定、モンテカルロ法、シミュレーション、乱数、面積、確率、数値積分、円、正方形。
歴史的背景
円周率のモンテカルロ推定
（日付が不明または関連性がない場合、例えば「流体力学」などでは、その注目すべき出現時期の概算値が提示されます。）
