Grundlegende Lösung (Green'sche Funktion)

Eine lineare hyperbolische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die die Ausbreitung verschiedener Arten von Wellen regelt. In ihrer einfachsten Form wird sie geschrieben als [latex]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u[/latex], wobei [latex]u(\vec{x},t)[/latex] die Amplitude der Welle, [latex]c[/latex] die Wellengeschwindigkeit und [latex]\nabla^2[/latex] der Laplace-Operator ist. Er modelliert Phänomene wie schwingende Saiten, Schallwellen und Lichtwellen.

Die Euler-Charakteristik ist eine topologische Invariante, eine Zahl, die die Struktur oder Form eines topologischen Raums beschreibt, unabhängig davon, wie er gekrümmt ist. Bei Polyedern wird sie durch die Formel [latex]\chi = V - E + F[/latex] definiert, wobei V, E und F die Anzahl der Ecken, Kanten bzw. Flächen sind. Für eine Kugel ist [latex]\chi = 2[/latex], für einen Torus ist [latex]\chi = 0[/latex].

Eine grundlegende lineare parabolische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die die Wärmeverteilung oder andere Diffusionsprozesse beschreibt. Ihre kanonische Form lautet [latex]\frac{partial u}{partial t} = \alpha \nabla^2 u[/latex], wobei [latex]u(\vec{x},t)[/latex] die Temperatur, [latex]t[/latex] die Zeit und [latex]\alpha[/latex] die Temperaturleitfähigkeit ist. Die Lösungen modellieren, wie sich eine anfängliche Temperaturverteilung entwickelt, indem sie Unregelmäßigkeiten im Laufe der Zeit ausgleichen und sich einem stabilen Zustand annähern.

Die Gesetze von De Morgan sind zwei Transformationsregeln der Booleschen Algebra, die für die Entwicklung digitaler Schaltungen von grundlegender Bedeutung sind. Das erste Gesetz besagt, dass die Negation einer Konjunktion die Disjunktion der Negationen ist: [latex]\neg(P \land Q) \iff (\neg P) \lor (\neg Q)[/latex]. Die zweite besagt, dass die Negation einer Disjunktion die Konjunktion der Negationen ist: [latex]\neg(P \lor Q) \iff (\neg P) \land (\neg Q)[/latex].

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum, der dem euklidischen Raum lokal ähnlich ist und die Anwendung der Infinitesimalrechnung ermöglicht. Jeder Punkt hat eine Nachbarschaft, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge von [latex]\mathbb{R}^n[/latex] ist. Diese lokalen Koordinatensysteme, Diagramme genannt, sind durch glatte Übergangsfunktionen miteinander verbunden und bilden einen Atlas, der die differenzierbare Struktur der Mannigfaltigkeit definiert.

Die digitale Elektronik basiert auf der Booleschen Algebra, einem von George Boole eingeführten mathematischen System der Logik. Sie verwendet zwei Werte, in der Regel 0 und 1 (oder falsch und wahr), und drei Grundoperationen: UND (Konjunktion), ODER (Disjunktion) und NICHT (Negation). Diese Operationen entsprechen direkt den Logikgattern, die die Bausteine aller digitalen Schaltungen bilden.

Dies ist ein historisch bemerkenswertes Problem in der Mathematik. Seine negative Lösung durch Leonhard Euler im Jahr 1736 legte den Grundstein für die Graphentheorie und nahm die Idee der Topologie vorweg. Es ging um die Frage, ob die sieben Brücken der Stadt Königsberg in einer einzigen Fahrt ohne Umweg überquert werden können, wobei die Fahrt auf derselben Landmasse endet, auf der sie beginnt.

Ein grundlegender Satz in der Topologie und Geometrie, der besagt, dass für jedes konvexe Polyeder die Anzahl der Ecken (V), Kanten (E) und Flächen (F) durch die Formel [latex]V - E + F = 2[/latex] zusammenhängt. Dieser Wert, 2, ist die Euler-Charakteristik einer Kugel und offenbart eine tiefgreifende topologische Eigenschaft, die von der spezifischen Form des Polyeders unabhängig ist.

Eine lineare elliptische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die Systeme in einem stationären Zustand oder im Gleichgewicht beschreibt. Sie wird geschrieben als [latex]nabla^2 u = 0[/latex] oder [latex]Delta u = 0[/latex], wobei [latex]nabla^2[/latex] (oder [latex]Delta[/latex]) der Laplace-Operator ist. Lösungen, so genannte harmonische Funktionen, sind die glattesten möglichen Funktionen und stellen Potenziale in Bereichen wie Elektrostatik, Gravitation und Flüssigkeitsströmung dar.

Das Theorema Egregium (lateinisch für "bemerkenswerter Satz") besagt, dass die Gaußsche Krümmung einer Oberfläche eine intrinsische Eigenschaft ist. Das bedeutet, dass sie nur davon abhängt, wie Abstände auf der Oberfläche selbst gemessen werden, und nicht davon, wie die Oberfläche in den dreidimensionalen Raum eingebettet ist. Ein flaches Blatt Papier kann zu einem Zylinder gerollt werden, aber nicht zu einer Kugel, ohne es zu dehnen.

Das Gauß-Bonnet-Theorem verbindet die Geometrie einer kompakten zweidimensionalen Oberfläche mit ihrer Topologie. Er besagt, dass das Integral der Gaußschen Krümmung [latex]K[/latex] über die gesamte Fläche [latex]M[/latex] gleich [latex]2\pi[/latex] mal der Euler-Charakteristik [latex]\chi(M)[/latex] der Fläche ist. Die Formel lautet [latex]\int_M K \, dA = 2\pi \chi(M)[/latex].

Genauigkeit bezieht sich auf die Nähe eines gemessenen Wertes zu einem Standard oder einem bekannten wahren Wert. Präzision bezieht sich darauf, wie nahe zwei oder mehr Messungen beieinander liegen. Ein Messsystem kann präzise, aber nicht genau, genau, aber nicht genau, weder noch oder beides sein. Diese beiden Begriffe sind in der Messtheorie unabhängig voneinander.

Die Riemannsche Geometrie ist der Zweig der Differentialgeometrie, der sich mit Riemannschen Mannigfaltigkeiten befasst – glatten Mannigfaltigkeiten mit einer Riemannschen Metrik. Diese Metrik ist eine Sammlung von inneren Produkten auf den Tangentialräumen, die von Punkt zu Punkt gleichmäßig variieren. Sie ermöglicht die Definition lokaler geometrischer Begriffe wie Winkel, Kurvenlänge, Oberfläche und Volumen, was zu einem verallgemeinerten Krümmungsbegriff führt.

Ein Homöomorphismus ist eine stetige Funktion zwischen zwei topologischen Räumen, die eine stetige Umkehrfunktion hat. Zwei topologische Räume werden als homöomorph bezeichnet, wenn eine solche Funktion existiert. Aus topologischer Sicht sind homöomorphe Räume identisch. Hinter diesem Begriff verbirgt sich die Vorstellung, dass ein Objekt in ein anderes gestreckt, gebogen oder verformt werden kann, ohne zu zerreißen oder zu verkleben, wie ein Kaffeebecher in einen Donut.