Bayes'sche Inferenz

Die Euler-Charakteristik ist eine topologische Invariante, eine Zahl, die die Struktur oder Form eines topologischen Raums beschreibt, unabhängig davon, wie er gekrümmt ist. Bei Polyedern wird sie durch die Formel [latex]\chi = V - E + F[/latex] definiert, wobei V, E und F die Anzahl der Ecken, Kanten bzw. Flächen sind. Für eine Kugel ist [latex]\chi = 2[/latex], für einen Torus ist [latex]\chi = 0[/latex].

Es ist eines der ersten Probleme der geometrischen Wahrscheinlichkeitsrechnung und gilt als Vorläufer der Monte-Carlo-Methode. Es geht darum, eine Nadel der Länge [latex]l[/latex] auf einen Boden mit parallelen Linien im Abstand von [latex]t[/latex] fallen zu lassen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Nadel eine Linie überquert, ist [latex]P = \frac{2l}{\pi t}[/latex] (für [latex]l \le t[/latex]). Damit steht ein physikalisches Experiment zur Verfügung, um [latex]\pi[/latex] zu schätzen.

Der Satz von Parseval setzt die Gesamtenergie eines Signals (das Integral seines Quadrats über eine Periode) in Beziehung zur Summe der quadrierten Energien seiner Fourier-Reihenkomponenten. Für eine Funktion [latex]s(x)[/latex] mit der Periode [latex]P[/latex] lautet der Satz: [latex]\frac{1}{P} \int_P |s(x)|^2 , dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2[/latex], wobei [latex]c_n[/latex] die komplexen Fourier-Koeffizienten sind.

Eine Fourier-Reihe zerlegt jede periodische Funktion oder jedes periodische Signal in eine Summe einfacher oszillierender Funktionen, nämlich Sinus- und Kosinusfunktionen. Für eine Funktion [latex]s(x)[/latex] mit der Periode [latex]P[/latex] gilt für die Reihe [latex]s(x) \approx \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{P}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{P}\right)\right][/latex]. Die Terme [latex]a_n[/latex] und [latex]b_n[/latex] sind die Fourier-Koeffizienten.

Das Theorema Egregium (lateinisch für "bemerkenswerter Satz") besagt, dass die Gaußsche Krümmung einer Oberfläche eine intrinsische Eigenschaft ist. Das bedeutet, dass sie nur davon abhängt, wie Abstände auf der Oberfläche selbst gemessen werden, und nicht davon, wie die Oberfläche in den dreidimensionalen Raum eingebettet ist. Ein flaches Blatt Papier kann zu einem Zylinder gerollt werden, aber nicht zu einer Kugel, ohne es zu dehnen.

Damit eine Fourierreihe gegen den Funktionswert konvergiert, muss die Funktion über eine Periode die Dirichlet-Bedingungen erfüllen. Diese lauten: (1) Die Funktion muss absolut integrierbar sein, (2) sie muss eine endliche Anzahl von Extrema (Maxima und Minima) besitzen und (3) sie muss eine endliche Anzahl von Unstetigkeitsstellen aufweisen.

Ein grundlegender Satz in der Topologie und Geometrie, der besagt, dass für jedes konvexe Polyeder die Anzahl der Ecken (V), Kanten (E) und Flächen (F) durch die Formel [latex]V - E + F = 2[/latex] zusammenhängt. Dieser Wert, 2, ist die Euler-Charakteristik einer Kugel und offenbart eine tiefgreifende topologische Eigenschaft, die von der spezifischen Form des Polyeders unabhängig ist.

Das Bayes-Theorem beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auf der Grundlage von Vorwissen über Bedingungen, die mit dem Ereignis in Zusammenhang stehen könnten. Es handelt sich um ein grundlegendes Konzept der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Mathematisch wird es wie folgt ausgedrückt: [latex]P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex], wobei A und B Ereignisse sind und [latex]P(B) \neq 0[/latex]. Es setzt die bedingten und marginalen Wahrscheinlichkeiten zweier zufälliger Ereignisse in Beziehung.

Eine lineare elliptische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die Systeme in einem stationären Zustand oder im Gleichgewicht beschreibt. Sie wird geschrieben als [latex]nabla^2 u = 0[/latex] oder [latex]Delta u = 0[/latex], wobei [latex]nabla^2[/latex] (oder [latex]Delta[/latex]) der Laplace-Operator ist. Lösungen, so genannte harmonische Funktionen, sind die glattesten möglichen Funktionen und stellen Potenziale in Bereichen wie Elektrostatik, Gravitation und Flüssigkeitsströmung dar.

Ein Standardansatz zur Annäherung von Lösungen für überbestimmte Systeme durch die Suche nach Modellparametern, die die Summe der quadratischen Differenzen zwischen beobachteten und vorhergesagten Werten minimieren. Diese Summe ist bekannt als die Summe der quadrierten Residuen (SSR). Ziel ist es, die Parameter [latex]\hat{\beta}[/latex] zu finden, die die Funktion [latex]S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T \beta)^2[/latex] minimieren.

Eine grundlegende lineare parabolische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die die Wärmeverteilung oder andere Diffusionsprozesse beschreibt. Ihre kanonische Form lautet [latex]\frac{partial u}{partial t} = \alpha \nabla^2 u[/latex], wobei [latex]u(\vec{x},t)[/latex] die Temperatur, [latex]t[/latex] die Zeit und [latex]\alpha[/latex] die Temperaturleitfähigkeit ist. Die Lösungen modellieren, wie sich eine anfängliche Temperaturverteilung entwickelt, indem sie Unregelmäßigkeiten im Laufe der Zeit ausgleichen und sich einem stabilen Zustand annähern.

Die Koeffizienten für die Fourier-Reihe einer Funktion [latex]s(x)[/latex] mit Periode [latex]P[/latex] werden mithilfe von Integralformeln berechnet. Die Gleichstromkomponente ist [latex]a_0 = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) , dx[/latex]. Die Kosinuskoeffizienten sind [latex]a_n = \frac{2}{P} int_{P} s(x) \cos\left(\frac{2pi n x}{P}\right) , dx[/latex], und die Sinuskoeffizienten sind [latex]b_n = \frac{2}{P} \int_{P} s(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{P}\right) , dx[/latex] für [latex]n ge 1[/latex].

Eine fundamentale Lösung eines linearen partiellen Differentialoperators [latex]L[/latex] ist eine Lösung der Gleichung [latex]Lu = delta(x)[/latex], wobei [latex]delta(x)[/latex] die Dirac-Delta-Funktion ist. Sie stellt die Reaktion des Systems auf eine Punktquelle oder einen Impuls dar. Ist die Lösung der inhomogenen Gleichung [latex]Lu = f(x)[/latex] bekannt, kann sie durch Faltung gefunden werden: [latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], wobei [latex]G[/latex] die Grundlösung ist.

Das Gauß-Bonnet-Theorem verbindet die Geometrie einer kompakten zweidimensionalen Oberfläche mit ihrer Topologie. Er besagt, dass das Integral der Gaußschen Krümmung [latex]K[/latex] über die gesamte Fläche [latex]M[/latex] gleich [latex]2\pi[/latex] mal der Euler-Charakteristik [latex]\chi(M)[/latex] der Fläche ist. Die Formel lautet [latex]\int_M K \, dA = 2\pi \chi(M)[/latex].