बायेसियन अनुमान

यूलर अभिलक्षणिका एक टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीयता है, एक संख्या जो किसी टोपोलॉजिकल स्पेस की संरचना या आकार का वर्णन करती है, चाहे उसे किसी भी तरह से मोड़ा जाए। बहुफलकों के लिए, इसे सूत्र [latex]chi = V - E + F[/latex] द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ V, E और F क्रमशः शीर्षों, किनारों और फलकों की संख्या हैं। गोले के लिए, [latex]chi = 2[/latex], जबकि टोरस के लिए, [latex]chi = 0[/latex]।

ज्यामितीय प्रायिकता की सबसे प्रारंभिक समस्याओं में से एक, इसे मोंटे कार्लो विधि का अग्रदूत माना जाता है। इसमें [latex]l[/latex] लंबाई की एक सुई को [latex]t[/latex] दूरी पर स्थित समानांतर रेखाओं वाले फर्श पर गिराया जाता है। सुई द्वारा किसी रेखा को पार करने की प्रायिकता [latex]P = frac{2l}{pi t}[/latex] है (जहाँ [latex]l le t[/latex] है)। यह [latex]pi[/latex] का अनुमान लगाने के लिए एक भौतिक प्रयोग प्रदान करता है।

पारसेवल प्रमेय किसी सिग्नल की कुल ऊर्जा (एक आवर्तकाल में उसके वर्ग का समाकलन) को उसके फूरियर श्रृंखला घटकों की वर्ग ऊर्जाओं के योग से संबंधित करता है। आवर्तकाल P वाले फलन s(x) के लिए, प्रमेय कहता है: ∫P |s(x)|² , dx = ∫n=-∞ |c₁₂|², जहाँ c₁₂ जटिल फूरियर गुणांक हैं।

फूरियर श्रृंखला किसी भी आवधिक फलन या संकेत को सरल दोलनशील फलनों, अर्थात् साइन और कोसाइन के योग में विघटित करती है। आवर्तकाल P वाले फलन s(x) के लिए, श्रृंखला निम्न प्रकार से दी जाती है: s(x) → a₀/2 + √n₁₈[a₁ cos(2πnx) + b₁ sin(2πnx)]। यहाँ a₁ और b₁ फूरियर गुणांक हैं।

थियोरेमा एग्रेगियम (लैटिन में "उल्लेखनीय प्रमेय") कहता है कि किसी सतह की गाउसियन वक्रता एक आंतरिक गुण है। इसका अर्थ है कि यह केवल इस बात पर निर्भर करता है कि सतह पर दूरियों को कैसे मापा जाता है, न कि इस बात पर कि सतह त्रि-आयामी अंतरिक्ष में कैसे स्थित है। कागज की एक सपाट शीट को बिना खींचे बेलन में मोड़ा जा सकता है, लेकिन गोले में नहीं।

किसी फूरियर श्रृंखला के फलन के मान पर अभिसरित होने के लिए, फलन को एक अवधि में डिरिचलेट शर्तों को पूरा करना चाहिए। ये शर्तें इस प्रकार हैं: (1) फलन पूर्णतः समाकलनीय होना चाहिए, (2) इसमें परिमित संख्या में चरम बिंदु (अधिकतम और न्यूनतम) होने चाहिए, और (3) इसमें परिमित संख्या में परिमित असंतुलन होने चाहिए।

टोपोलॉजी और ज्यामिति में एक मूलभूत प्रमेय यह बताता है कि किसी भी उत्तल बहुफलक के लिए, शीर्षों (V), किनारों (E) और फलकों (F) की संख्या के बीच संबंध सूत्र [latex]V - E + F = 2[/latex] द्वारा निर्धारित होता है। यह मान, 2, गोले का यूलर अभिलक्षण है, जो बहुफलक के विशिष्ट आकार से स्वतंत्र एक गहन टोपोलॉजिकल गुण को प्रकट करता है।

बेयस प्रमेय किसी घटना की प्रायिकता का वर्णन उन पूर्व ज्ञान के आधार पर करता है जो उस घटना से संबंधित हो सकती हैं। यह प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में एक मूलभूत अवधारणा है। गणितीय रूप से, इसे [latex]P(A|B) = frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/latex] के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ A और B घटनाएँ हैं और [latex]P(B) neq 0[/latex]। यह दो यादृच्छिक घटनाओं की सशर्त और सीमांत प्रायिकताओं को आपस में जोड़ता है।

एक द्वितीय-कोटि रैखिक दीर्घवृत्तीय आंशिक अवकल समीकरण जो स्थिर अवस्था या संतुलन की स्थिति में प्रणालियों का वर्णन करता है। इसे [latex]nabla^2[/latex] या [latex]Delta u = 0[/latex] के रूप में लिखा जाता है, जहाँ [latex]nabla^2[/latex] (या [latex]Delta[/latex]) लाप्लास ऑपरेटर है। इसके हल, जिन्हें हार्मोनिक फलन कहा जाता है, सबसे सहज फलन होते हैं और विद्युतस्थैतिकी, गुरुत्वाकर्षण और द्रव प्रवाह जैसे क्षेत्रों में विभव का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अतिनिर्धारित प्रणालियों के समाधानों का अनुमान लगाने के लिए एक मानक दृष्टिकोण यह है कि मॉडल पैरामीटर ज्ञात किए जाएं जो प्रेक्षित और अनुमानित मानों के बीच वर्ग अंतर के योग को न्यूनतम करते हैं। इस योग को वर्ग अवशेषों का योग (SSR) कहा जाता है। लक्ष्य उन पैरामीटरों [latex]hat{beta}[/latex] को ज्ञात करना है जो फलन [latex]S(beta) = sum_{i=1}^{n} (y_i - x_i^T beta)^2[/latex] को न्यूनतम करते हैं।

यह एक मूलभूत द्वितीय-कोटि रैखिक परवलयिक आंशिक अवकल समीकरण है जो ऊष्मा वितरण या अन्य विसरण प्रक्रियाओं का वर्णन करता है। इसका मानक रूप [latex]frac{partial u}{partial t} = alpha nabla^2 u[/latex] है, जहाँ [latex]u(vec{x},t)[/latex] तापमान है, [latex]t[/latex] समय है, और [latex]alpha[/latex] तापीय विसरणशीलता है। इसके हल यह दर्शाते हैं कि प्रारंभिक तापमान वितरण समय के साथ कैसे विकसित होता है, अनियमितताओं को कम करता है और स्थिर अवस्था की ओर बढ़ता है।

आवर्तकाल P वाले फलन s(x) की फूरियर श्रृंखला के गुणांकों की गणना समाकलन सूत्रों का उपयोग करके की जाती है। DC घटक a₀ = 2P₀ = √P s(x) , dx है। कोसाइन गुणांक a₁ = 2P₀ = √P s(x) cos(2πnxP) , dx हैं, तथा साइन गुणांक b₁ = 2P₀ = √P s(x) sin(2πnxP) , dx हैं, जहाँ n ≥ 1 है।

एक रेखीय आंशिक अवकलन ऑपरेटर [latex]L[/latex] का मूलभूत हल समीकरण [latex]Lu = delta(x)[/latex] का हल होता है, जहाँ [latex]delta(x)[/latex] डिराक डेल्टा फलन है। यह किसी बिंदु स्रोत या आवेग के प्रति प्रणाली की प्रतिक्रिया को दर्शाता है। एक बार ज्ञात हो जाने पर, विषम समीकरण [latex]Lu = f(x)[/latex] का हल कनवोल्यूशन द्वारा ज्ञात किया जा सकता है: [latex]u(x) = (G * f)(x)[/latex], जहाँ [latex]G[/latex] मूलभूत हल है।

गॉस-बोनट प्रमेय एक संकुचित द्वि-आयामी सतह की ज्यामिति को उसकी टोपोलॉजी से जोड़ता है। यह बताता है कि संपूर्ण सतह M पर गॉसियन वक्रता K का समाकलन सतह के यूलर अभिलक्षणिका chi(M) के 2π गुना के बराबर होता है। सूत्र है: ∫M K dA = 2π chi(M)