有理数

欧几里得定理指出存在无限多个素数。经典证明采用反证法：假设存在一个有限的素数列表 [latex]p₁, p₂, \dots, p_n[/latex]。接着考察数 [latex]P = p₁ p₂ \cdots p_n + 1[/latex]。 该数[latex]P[/latex]要么是素数，要么不是。若为素数，则该数未出现在原列表中，故为新素数。.

偏微分方程（PDE）是在一个多变量函数的各个偏导数之间建立关系的方程。函数通常被称为未知数，而偏微分方程则描述了未知函数与其导数之间的关系。与涉及单变量函数的常微分方程 (ODE) 不同，偏微分方程是多维系统建模的基础。

一种求解一阶和双曲二阶偏微分方程 (PDE) 的技术。该方法将偏微分方程 (PDE) 简化为一系列沿着特定曲线（称为“特征”）的常微分方程 (ODE)。沿着这些曲线，PDE 会简化，从而可以通过对 ODE 组进行积分来求得解。该方法对于涉及传输和波传播的问题尤其有效。

代数基本定理的直接推论是：任何实系数非常系数多项式均可分解为线性因子与不可约二次因子的乘积，所有因子系数均为实数。线性因子对应实数根，而不可约二次因子则对应复共轭根对 [latex]a \pm bi[/latex]。.

超越数是指既非代数数（即不满足任何整系数或有理系数非零多项式方程的根）的实数或复数。 所有超越数都是无理数，但并非所有无理数都是超越数（例如√2是无理数但属于代数数，因为它是x² - 2 = 0的根）。.

尽管有理数集[latex]\mathbb{Q}[/latex]具有稠密性（即任意两个不同有理数之间都存在另一个有理数），但它仍是可数无限的。这意味着所有有理数都能与自然数集[latex]\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}[/latex]建立一一对应关系。 这一令人惊讶的结果表明，有理数集[latex]\mathbb{Q}[/latex]与自然数集[latex]\mathbb{N}[/latex]及整数集[latex]\mathbb{Z}[/latex]具有相同的基数。.

数论中的一个重要结果，指出如果质数 [latex]p[/latex] 除以两个整数 [latex]a[/latex] 和 [latex]b[/latex] 的乘积，那么 [latex]p[/latex] 必须至少除以其中一个整数。也就是说，如果 [latex]p | ab[/latex]，那么 [latex]p | a[/latex] 或 [latex]p | b[/latex]。这一性质对于证明算术基本定理的唯一性部分至关重要。.

无理数是指任何无法表示为两个整数之比的实数，即无法表示为形如 1/p + q/r 的形式，其中 p 和 r 均为非零整数。换言之，它们是不属于有理数的实数。其十进制表示既不会终止也不会形成永久循环的模式。.

一个实数是理性的当且仅当其十进制表示为周期性。这意味着该数字序列最终会无限重复一个有限的数字序列。这个重复部分称为循环小数。例如，[latex]1/3 = 0.333...[/latex]（循环小数部分为'3'），而[latex]3/7 = 0.428571428571...[/latex]（循环小数部分为'428571'）。有限小数是特殊情况，其循环小数部分为'0'。.

贝祖特定理是交点理论中的一个基本定理。它断言，只要在代数闭域上的投影面中工作，计算具有多重性的点，并包括平行渐近线相交的无穷远处的点，两条度数分别为 [latex]m[/latex] 和 [latex]n[/latex] 的平面代数曲线的交点数正好是 [latex]mn[/latex]。

代数基本定理指出，每个非常量单变量复系数多项式至少有一个复数根。这保证了复数域具有代数闭性，即无法用实数求解的多项式方程可用复数求解。 对于多项式 \(p(z) = a_n z^n + \dots + a_1 z + a_0\)，存在复数 \(z_0 \in \mathbb{C}\) 使得 \(p(z_0) = 0\)。.

该定理指出，每个大于 1 的整数要么是质数，要么可以唯一地表示为质数的乘积，而不考虑因数的顺序。例如，[latex]1200 = 2^4 \times 3^1 \times 5^2[/latex]。这种唯一因式分解是数论的基石，为整数提供了基本的乘法结构。.

正整数 [latex]n 的规范表示（或称标准形式）是其唯一的质因数分解，以质数幂的乘积形式表示，且质数按升序排列。对于任意大于 1 的整数 [latex]n，可表示为 [latex]n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}[/latex]，其中 [latex]p_1 < p_2 < \cdots < p_k[/latex] 为素数，指数 [latex]a_i[/latex] 为正整数。.

与柯西初值问题相关的偏微分方程的基本存在唯一性定理。该定理指出，如果偏微分方程和初始条件是“解析的”（可以用收敛幂级数表示），则在初始曲面的邻域中存在唯一解析解。它提供了局部存在性的保证，但并未解决全局行为或适定性问题。