Números racionales

El teorema de Euclides establece que hay infinitos números primos. La prueba clásica se basa en la contradicción. Se parte de una lista finita de todos los números primos [latex]p_1, p_2, \dots, p_n[/latex]. A continuación, se considera el número [latex]P = p_1 p_2 \cdots p_n + 1[/latex]. Este número [latex]P[/latex] es primo o no lo es. Si es primo, es un nuevo primo que no está en la lista.

Una ecuación diferencial parcial (EDP) es una ecuación que impone relaciones entre las distintas derivadas parciales de una función multivariable. La función suele denominarse incógnita, y una EDP describe una relación entre esta función incógnita y sus derivadas. A diferencia de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), que implican funciones de una sola variable, las EDP son fundamentales para modelar sistemas multidimensionales.

Una técnica para resolver ecuaciones diferenciales parciales (EDP) de primer orden e hiperbólicas de segundo orden. El método reduce una EDP a una familia de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) a lo largo de curvas específicas llamadas «características». A lo largo de estas curvas, la EDP se simplifica, lo que permite encontrar la solución mediante la integración del sistema de EDO. Es especialmente eficaz para problemas que involucran transporte y propagación de ondas.

Una consecuencia directa del teorema fundamental del álgebra es que cualquier polinomio no constante con coeficientes reales puede factorizarse en un producto de factores lineales y factores cuadráticos irreducibles, todos con coeficientes reales. Los factores lineales corresponden a las raíces reales, mientras que los factores cuadráticos irreducibles corresponden a pares de raíces complejas conjugadas [latex]a \pm bi[/latex].

Un número trascendental es un número real o complejo que no es algebraico, lo que significa que no es raíz de ninguna ecuación polinómica distinta de cero con coeficientes enteros (o racionales). Todos los números trascendentales son irracionales, pero no todos los números irracionales son trascendentales (por ejemplo, [latex]\sqrt{2}[/latex] es irracional pero algebraico, ya que es una raíz de [latex]x^2 - 2 = 0[/latex]).

A pesar de ser denso, lo que significa que entre dos números racionales distintos hay otro, el conjunto de todos los números racionales [latex]\mathbb{Q}[/latex] es infinito contable. Esto significa que todos los números racionales pueden ponerse en correspondencia uno a uno con los números naturales [latex]\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}[/latex]. Este sorprendente resultado demuestra que [latex]\mathbb{Q}[/latex] tiene la misma cardinalidad que [latex]\mathbb{N}[/latex] y [latex]\mathbb{Z}[/latex].

Un resultado clave en la teoría de números que establece que si un número primo [latex]p[/latex] divide el producto de dos enteros [latex]a[/latex] y [latex]b[/latex], entonces [latex]p[/latex] debe dividir al menos uno de esos enteros. Es decir, si [latex]p | ab[/latex], entonces [latex]p | a[/latex] o [latex]p | b[/latex]. Esta propiedad es esencial para demostrar la parte de unicidad del Teorema Fundamental de la Aritmética.

Un número irracional es cualquier número real que no se puede expresar como una relación entre dos números enteros, [latex]p/q[/latex], donde [latex]p[/latex] es un número entero y [latex]q[/latex] es un número entero distinto de cero. En otras palabras, son números reales que no son racionales. Su representación decimal nunca termina y nunca entra en un patrón que se repita permanentemente.

Un número real es racional si y solo si su representación decimal es periódica. Esto significa que la secuencia de dígitos repite indefinidamente una secuencia finita de dígitos. Esta parte repetitiva se denomina repetición. Por ejemplo, [latex]1/3 = 0,333...[/latex] (el repetendo es '3') y [latex]3/7 = 0,428571428571...[/latex] (el repetendo es '428571'). Los decimales terminados son un caso especial en el que el repetendo es '0'.

El teorema de Bézout es un enunciado fundamental de la teoría de intersecciones. Afirma que el número de puntos de intersección de dos curvas algebraicas planas de grados [latex]m[/latex] y [latex]n[/latex] es exactamente [latex]mn[/latex], siempre que se trabaje en un plano proyectivo sobre un campo algebraicamente cerrado, se cuenten los puntos con multiplicidad y se incluyan los puntos en el infinito donde se encuentran las asíntotas paralelas.

El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de una sola variable no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. Esto garantiza que el campo de los números complejos es algebraicamente cerrado, lo que significa que las ecuaciones polinómicas que no pueden resolverse en números reales pueden resolverse en números complejos. Para un polinomio [latex]p(z) = a_n z^n + \dots + a_1 z + a_0[/latex], existe un [latex]z_0 en \mathbb{C}[/latex] tal que [latex]p(z_0) = 0[/latex].

Este teorema afirma que todo número entero mayor que 1 es un número primo o puede representarse unívocamente como producto de números primos, sin tener en cuenta el orden de los factores. Por ejemplo, [latex]1200 = 2^4 \times 3^1 \times 5^2[/latex]. Esta factorización única es una piedra angular de la teoría de números, ya que proporciona una estructura multiplicativa fundamental para los números enteros.

La representación canónica, o forma estándar, de un número entero positivo [latex]n[/latex] es su factorización prima única escrita como un producto de potencias primas con los primos en orden ascendente. Para cualquier número entero [latex]n > 1[/latex], se puede escribir como [latex]n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}[/latex], donde [latex]p_1 < p_2 < \cdots < p_k[/latex] son números primos y los exponentes [latex]a_i[/latex] son números enteros positivos.

Teorema fundamental de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales parciales asociadas con problemas de valor inicial de Cauchy. Establece que si la EDP y las condiciones iniciales son analíticas (pueden representarse mediante series de potencias convergentes), entonces existe una solución analítica única en un entorno de la superficie inicial. Proporciona una garantía de existencia local, pero no aborda el comportamiento global ni el planteamiento correcto.