Numeri razionali

Il teorema di Euclide afferma che esistono infiniti numeri primi. La dimostrazione classica è per contraddizione. Si ipotizza un elenco finito di tutti i numeri primi [latex]p_1, p_2, \dots, p_n[/latex]. Si considera quindi il numero [latex]P = p_1 p_2 \cdots p_n + 1[/latex]. Questo numero [latex]P[/latex] è primo o non primo. Se è primo, è un nuovo numero primo non presente nell'elenco.

Un'equazione differenziale parziale (PDE) è un'equazione che impone relazioni tra le varie derivate parziali di una funzione multivariabile. La funzione è spesso chiamata incognita e una PDE descrive una relazione tra questa funzione incognita e le sue derivate. A differenza delle equazioni differenziali ordinarie (ODE), che riguardano funzioni di una sola variabile, le PDE sono fondamentali per modellare sistemi multidimensionali.

Una tecnica per risolvere equazioni differenziali parziali (EDP) del primo ordine e del secondo ordine iperbolico. Il metodo riduce un'EDP a una famiglia di equazioni differenziali ordinarie (EOD) lungo curve specifiche chiamate "caratteristiche". Lungo queste curve, l'EDP si semplifica, consentendo di trovare la soluzione integrando il sistema di EOD. È particolarmente efficace per problemi che coinvolgono il trasporto e la propagazione delle onde.

Un corollario diretto del teorema fondamentale dell'algebra è che qualsiasi polinomio non costante con coefficienti reali può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari e fattori quadratici irriducibili, tutti con coefficienti reali. I fattori lineari corrispondono alle radici reali, mentre i fattori quadratici irriducibili corrispondono a coppie di radici complesse coniugate [latex]a \pm bi[/latex].

Un numero trascendentale è un numero reale o complesso che non è algebrico, ovvero non è radice di alcuna equazione polinomiale diversa da zero con coefficienti interi (o razionali). Tutti i numeri trascendentali sono irrazionali, ma non tutti i numeri irrazionali sono trascendentali (ad esempio, [latex]\sqrt{2}[/latex] è irrazionale ma algebrico, poiché è una radice di [latex]x^2 - 2 = 0[/latex]).

Nonostante sia denso, ovvero nonostante tra due numeri razionali distinti ve ne sia sempre un altro, l'insieme di tutti i numeri razionali [latex]\mathbb{Q}[/latex] è infinito numerabile. Ciò significa che tutti i numeri razionali possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali [latex]\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}[/latex]. Questo risultato sorprendente dimostra che [latex]\mathbb{Q}[/latex] ha la stessa cardinalità di [latex]\mathbb{N}[/latex] e [latex]\mathbb{Z}[/latex].

Un risultato chiave nella teoria dei numeri che afferma che se un numero primo [latex]p[/latex] divide il prodotto di due numeri interi [latex]a[/latex] e [latex]b[/latex], allora [latex]p[/latex] deve dividere almeno uno di questi numeri interi. Cioè, se [latex]p | ab[/latex], allora [latex]p | a[/latex] o [latex]p | b[/latex]. Questa proprietà è essenziale per dimostrare l'unicità del Teorema fondamentale dell'aritmetica.

Un numero irrazionale è qualsiasi numero reale che non può essere espresso come rapporto tra due numeri interi, [latex]p/q[/latex], dove [latex]p[/latex] è un numero intero e [latex]q[/latex] è un numero intero diverso da zero. In altre parole, sono numeri reali che non sono razionali. La loro rappresentazione decimale non termina mai e non entra mai in uno schema che si ripete all'infinito.

Un numero reale è razionale se e solo se la sua rappresentazione decimale è periodica. Ciò significa che la sequenza di cifre alla fine ripete indefinitamente una sequenza finita di cifre. Questa parte ripetitiva è chiamata ripetizione. Ad esempio, [latex]1/3 = 0,333...[/latex] (il ripetente è '3') e [latex]3/7 = 0,428571428571...[/latex] (il ripetente è '428571'). I decimali finiti sono un caso speciale in cui il ripetente è '0'.

Il teorema di Bézout è un enunciato fondamentale della teoria delle intersezioni. Esso afferma che il numero di punti di intersezione di due curve algebriche piane di grado [latex]m[/latex] e [latex]n[/latex] è esattamente [latex]mn[/latex], a condizione che si lavori in un piano proiettivo su un campo algebricamente chiuso, si contino i punti con molteplicità e si includano i punti all'infinito in cui si incontrano gli asintoti paralleli.

Il teorema fondamentale dell'algebra afferma che ogni polinomio a una variabile non costante con coefficienti complessi ha almeno una radice complessa. Ciò garantisce che il campo dei numeri complessi sia algebricamente chiuso, il che significa che le equazioni polinomiali che non possono essere risolte in numeri reali possono essere risolte in numeri complessi. Per un polinomio [latex]p(z) = a_n z^n + \dots + a_1 z + a_0[/latex], esiste un [latex]z_0 in \mathbb{C}[/latex] tale che [latex]p(z_0) = 0[/latex].

Questo teorema afferma che ogni numero intero maggiore di 1 è un numero primo o può essere rappresentato in modo univoco come prodotto di numeri primi, senza tener conto dell'ordine dei fattori. Ad esempio, [latex]1200 = 2^4 ^molte volte 3^1 ^molte volte 5^2[/latex]. Questa fattorizzazione unica è una pietra miliare della teoria dei numeri e fornisce una struttura moltiplicativa fondamentale per i numeri interi.

La rappresentazione canonica, o forma standard, di un numero intero positivo [latex]n[/latex] è la sua fattorizzazione primaria unica scritta come prodotto di potenze primarie con i numeri primi in ordine crescente. Per qualsiasi numero intero [latex]n > 1[/latex], può essere scritto come [latex]n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}[/latex], dove [latex]p_1 < p_2 < \cdots < p_k[/latex] sono numeri primi e gli esponenti [latex]a_i[/latex] sono numeri interi positivi.

Un teorema fondamentale di esistenza e unicità per equazioni differenziali parziali associate a problemi di Cauchy ai valori iniziali. Afferma che se l'equazione differenziale alle derivate parziali e le condizioni iniziali sono "analitiche" (rappresentabili da serie di potenze convergenti), allora esiste un'unica soluzione analitica in un intorno della superficie iniziale. Fornisce una garanzia di esistenza locale, ma non affronta il comportamento globale o la buona posizione.