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大都会-黑斯廷斯算法是一个著名的算法 MCMC method for obtaining a sequence of random samples from a probability distribution for which direct sampling is difficult. At each iteration, it generates a candidate for the next sample based on the current sample. This candidate is then accepted or rejected with a certain probability, ensuring the resulting chain converges to the desired distribution.
该算法的工作原理是构建一个 马尔可夫链 其平稳分布为目标分布 [latex]P(x)[/latex]。设当前状态为 [latex]x_t[/latex]。首先，从提议分布 [latex]Q(x’|x_t)[/latex] 生成候选状态 [latex]x'[/latex]，该提议分布可以是任何易于采样的分布（例如，以 [latex]x_t[/latex] 为中心的 Gaussian 分布）。其次，计算接受概率 [latex]alpha(x’, x_t)[/latex]：[latex]alpha(x’, x_t) = minleft(1, frac{P(x’)Q(x_t|x’)}{P(x_t)Q(x’|x_t)}right)[/latex]。从 [latex][0, 1][/latex] 上的均匀分布中抽取一个随机数 [latex]u[/latex]。如果 [latex]u le alpha[/latex]，则接受该候选数，并将下一个状态设置为 [latex]x_{t+1} = x'[/latex]。否则，拒绝该候选数，链保持在当前状态 [latex]x_{t+1} = x_t[/latex]。
这种接受率的精妙之处在于，它只需要知道 P(x) 的近似值（相差一个比例常数），因为任何归一化常数都会在 P(x)/P(x_t) 中被抵消。这在贝叶斯统计中至关重要，因为在贝叶斯统计中，后验分布通常只知道难以处理的边缘似然。最初的 Metropolis 算法（1953 年）是一个特例，其中提议分布 Q 是对称的，即 Q(x|x_t) = Q(x_t|x)，从而将接受概率简化为 min(1, P(x)/P(x_t))。 1970 年的推广允许非对称提议分布，大大拓宽了算法的适用范围和效率。
大都会-黑斯廷斯算法
（如果日期未知或不相关，例如“流体力学”，则提供其显著出现的近似估计）
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