(Imagen generada únicamente con fines ilustrativos)
El algoritmo de Metropolis-Hastings es un algoritmo destacado. MCMC method for obtaining a sequence of random samples from a probability distribution for which direct sampling is difficult. At each iteration, it generates a candidate for the next sample based on the current sample. This candidate is then accepted or rejected with a certain probability, ensuring the resulting chain converges to the desired distribution.
El algoritmo funciona construyendo un cadena de Markov cuya distribución estacionaria es la distribución objetivo [latex]P(x)[/latex]. Sea el estado actual [latex]x_t[/latex]. Primero, se genera un estado candidato [latex]x'[/latex] a partir de una distribución propuesta [latex]Q(x’|x_t)[/latex], que puede ser cualquier distribución de la que sea fácil muestrear (por ejemplo, una gaussiana centrada en [latex]x_t[/latex]). Segundo, se calcula una probabilidad de aceptación [latex]alpha(x’, x_t)[/latex]: [latex]alpha(x’, x_t) = minleft(1, frac{P(x’)Q(x_t|x’)}{P(x_t)Q(x’|x_t)}right)[/latex]. Se extrae un número aleatorio [latex]u[/latex] de una distribución uniforme en [latex][0, 1][/latex]. Si [latex]u le alpha[/latex], el candidato es aceptado y el siguiente estado se establece en [latex]x_{t+1} = x'[/latex]. De lo contrario, el candidato es rechazado y la cadena permanece en el estado actual, [latex]x_{t+1} = x_t[/latex].
La genialidad de esta razón de aceptación es que solo requiere conocer [latex]P(x)[/latex] salvo una constante de proporcionalidad, ya que cualquier constante de normalización se cancela en la fracción [latex]frac{P(x’)}{P(x_t)}[/latex]. Esto es crucial en la estadística bayesiana, donde la distribución posterior a menudo se conoce solo hasta la verosimilitud marginal intratable. El algoritmo original de Metropolis (1953) es un caso especial donde la distribución de la propuesta [latex]Q[/latex] es simétrica, es decir, [latex]Q(x’|x_t) = Q(x_t|x’)[/latex], lo que simplifica la probabilidad de aceptación a [latex]minleft(1, frac{P(x’)}{P(x_t)}right)[/latex]. Hastings’ La generalización de 1970 permitió distribuciones de propuestas asimétricas, ampliando significativamente la aplicabilidad y la eficiencia del algoritmo.
Algoritmo de Metropolis-Hastings
(Si la fecha es desconocida o no es relevante, por ejemplo "mecánica de fluidos", se proporciona una estimación redondeada de su aparición notable)
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