(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)
मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स एल्गोरिदम एक प्रमुख एमसीएमसी method for obtaining a sequence of random samples from a probability distribution for which direct sampling is difficult. At each iteration, it generates a candidate for the next sample based on the current sample. This candidate is then accepted or rejected with a certain probability, ensuring the resulting chain converges to the desired distribution.
यह एल्गोरिदम एक निर्माण करके काम करता है मार्कोव श्रृंखला जिसका स्थिर वितरण लक्ष्य वितरण [latex]P(x)[/latex] है। मान लीजिए वर्तमान अवस्था [latex]x_t[/latex] है। सबसे पहले, एक संभावित अवस्था [latex]x'[/latex] को एक प्रस्ताव वितरण [latex]Q(x’|x_t)[/latex] से उत्पन्न किया जाता है, जो कोई भी ऐसा वितरण हो सकता है जिससे आसानी से नमूना लिया जा सके (उदाहरण के लिए, [latex]x_t[/latex] पर केंद्रित एक गाऊसी वितरण)। दूसरे चरण में, स्वीकृति प्रायिकता [latex]alpha(x’, x_t)[/latex] की गणना की जाती है: [latex]alpha(x’, x_t) = minleft(1, frac{P(x’)Q(x_t|x’)}{P(x_t)Q(x’|x_t)}right)[/latex]। [latex][0, 1][/latex] पर एक समान वितरण से एक यादृच्छिक संख्या [latex]u[/latex] निकाली जाती है। यदि [latex]u le alpha[/latex], तो उम्मीदवार को स्वीकार कर लिया जाता है, और अगली स्थिति [latex]x_{t+1} = x'[/latex] निर्धारित की जाती है। अन्यथा, उम्मीदवार को अस्वीकार कर दिया जाता है, और श्रृंखला वर्तमान स्थिति, [latex]x_{t+1} = x_t[/latex] पर बनी रहती है।
इस स्वीकृति अनुपात की खूबी यह है कि इसके लिए केवल आनुपातिकता के एक स्थिरांक तक [latex]P(x)[/latex] का ज्ञान होना आवश्यक है, क्योंकि कोई भी सामान्यीकरण स्थिरांक भिन्न [latex]frac{P(x’)}{P(x_t)}[/latex] में रद्द हो जाता है। यह बायेसियन सांख्यिकी में महत्वपूर्ण है, जहाँ पश्च वितरण अक्सर केवल असाध्य सीमांत संभावना तक ही ज्ञात होता है। मूल मेट्रोपोलिस एल्गोरिदम (1953) एक विशेष मामला है जहाँ प्रस्ताव वितरण [latex]Q[/latex] सममित है, अर्थात्, [latex]Q(x’|x_t) = Q(x_t|x’)[/latex], स्वीकृति संभावना को [latex]minleft(1, frac{P(x’)}{P(x_t)}right)[/latex] तक सरल बनाता है। हेस्टिंग्स’ 1970 के सामान्यीकरण ने असममित प्रस्ताव वितरण की अनुमति दी, जिससे एल्गोरिदम की प्रयोज्यता और दक्षता में काफी विस्तार हुआ।
मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स एल्गोरिदम
(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)
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