(설명을 위한 생성된 이미지입니다)
전형적인 예시 몬테카를로 방법 [latex]pi[/latex] 값을 추정하고 있습니다. 반지름이 [latex]r[/latex]인 원을 한 변의 길이가 [latex]2r[/latex]인 정사각형 안에 내접시키면, 두 면적의 비율은 [latex]frac{pi r^2}{(2r)^2} = frac{pi}{4}[/latex]입니다. 무작위로 산란 정사각형 안의 점들과 원 안에 포함되는 분수 [latex]p[/latex]를 세면 다음과 같은 추정치를 얻을 수 있습니다: [latex]pi approx 4p[/latex].
The procedure for estimating [latex]\pi[/latex] is straightforward and highlights the core 몬테카를로 principle. Consider a unit square in the Cartesian plane with vertices at (0,0), (1,0), (1,1), and (0,1). A quarter circle of radius 1 is inscribed within this square, centered at the origin. The area of the square is 1, and the area of the quarter circle is [latex]\frac{\pi(1)^2}{4} = \frac{\pi}{4}[/latex]. The ratio of the quarter circle’s area to the square’s area is therefore [latex]\frac{\pi}{4}[/latex].
이 비율을 추정하기 위해, 0과 1 사이에서 균일하게 분포된 임의의 점 [latex](x, y)[/latex]의 개수 [latex]N[/latex]을 생성합니다. 각 점은 정사각형 내 어느 위치에든 있을 확률이 같습니다. 점 [latex](x, y)[/latex]은 원점으로부터의 거리가 1 이하이면 사분원 내부에 있다고 간주하며, 이는 [latex]x^2 + y^2 le 1[/latex] 조건을 만족하는 점의 개수 [latex]M[/latex]을 계산합니다. 비율 [latex]frac{M}{N}[/latex]은 면적 비율 [latex]frac{pi}{4}[/latex]의 추정값입니다. 따라서, 우리는 [latex]pi[/latex]를 [latex]pi approx 4 frac{M}{N}[/latex]로 근사할 수 있습니다. 대수의 법칙에 따라, [latex]N[/latex]이 무한대로 접근할 때, 이 근사값은 [latex]pi[/latex]의 참값으로 수렴합니다. 그러나 수렴 속도가 느리고 오차가 [latex]frac{1}{sqrt{N}}[/latex]에 비례하여 감소하기 때문에, 결정론적 알고리즘에 비해 높은 정밀도로 [latex]pi[/latex]를 계산하는 데 매우 비효율적인 방법입니다.
몬테카를로를 이용한 파이(π) 추정
(날짜를 알 수 없거나 관련이 없는 경우, 예를 들어 "유체역학"의 경우, 주목할 만한 등장 시기를 대략적으로 추정하여 제공합니다.)
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