Konstitutive Gleichungen

Konstitutionsgleichungen sind wichtig, weil die grundlegenden Gesetze der Kontinuumsmechanik (Erhaltung von Masse, Impuls und Energie) universell sind und für alle Materialien gelten. Allerdings verhalten sich verschiedene Materialien unter denselben Belastungsbedingungen unterschiedlich. Ein Stahlträger, eine Wassersäule und ein Stück Gummi reagieren alle unterschiedlich auf eine aufgebrachte Kraft. Konstitutive Gleichungen liefern die materialspezifischen Informationen, die benötigt werden, um das System der herrschenden Gleichungen zu schließen und eine eindeutige Lösung für ein bestimmtes Problem zu erhalten. Sie werden experimentell bestimmt und stellen ein mathematisches Modell des Verhaltens eines Materials dar.

Die Komplexität der konstitutiven Gleichungen ist sehr unterschiedlich. Die einfachsten Modelle gelten für lineare, isotrope Materialien. Für einen linear elastischen Festkörper setzt das Hooke'sche Gesetz Spannung und Dehnung linear über einen Steifigkeitstensor vierter Ordnung [latex]\mathbf{C}[/latex] in Beziehung. Bei einer Newtonschen Flüssigkeit ist die Spannung linear mit der Dehnungsrate verknüpft. Viele reale Materialien weisen jedoch ein viel komplexeres Verhalten auf. Nichtlineare Elastizität wird für Materialien wie Gummi benötigt, die große Verformungen erfahren. Plastizitätsmodelle beschreiben die permanente Verformung nach dem Überschreiten einer Fließspannung. Viskoelastische Modelle, die für Polymere verwendet werden, weisen sowohl flüssigkeitsähnliche als auch festkörperähnliche Eigenschaften auf, wobei ihre Reaktion von der Belastungsgeschwindigkeit abhängt. Die Entwicklung genauer konstitutiver Modelle für fortschrittliche Materialien wie Verbundwerkstoffe, biologisches Gewebe oder körnige Materialien ist ein wichtiger und laufender Forschungsbereich in der Mechanik.