المعادلات التأسيسية

تُعد المعادلات التكوينية ضرورية لأن القوانين الأساسية لميكانيكا الأوساط المتصلة (conservation of massتُعدّ معادلات القوة (الزخم والطاقة) عامة وتنطبق على جميع المواد. مع ذلك، تتصرف المواد المختلفة بشكل مختلف تحت ظروف التحميل نفسها. فمثلاً، يستجيب كل من عارضة فولاذية وعمود ماء وقطعة مطاط بشكل فريد للقوة المطبقة. توفر المعادلات التكوينية المعلومات الخاصة بكل مادة، وهي ضرورية لإغلاق نظام المعادلات الحاكمة والحصول على حل فريد لمسألة معينة. تُحدد هذه المعادلات تجريبياً، وتمثل نموذجاً رياضياً لسلوك المادة.

The complexity of constitutive equations varies greatly. The simplest models are for linear, isotropic materials. For a linear elastic solid, Hooke’s Law relates stress and strain linearly via a fourth-order stiffness tensor [latex]\mathbf{C}[/latex]. For a Newtonian fluid, the stress is linearly related to the rate of strain. However, many real-world materials exhibit much more complex behavior. Non-linear elasticity is needed for materials like rubber that undergo large deformations. Plasticity models describe permanent deformation after a yield stress is exceeded. Viscoelastic models, used for polymers, exhibit both fluid-like and solid-like characteristics, with their response depending on the rate of loading. Developing accurate constitutive models for advanced materials like composites, biological tissues, or granular materials is a major and ongoing area of research in mechanics.