Teorema Fundamental da Aritmética

Um número real é racional se, e somente se, sua representação decimal for periódica. Isso significa que a sequência de dígitos eventualmente repete uma sequência finita de dígitos indefinidamente. Essa parte que se repete é chamada de período. Por exemplo, [latex]1/3 = 0,333...[/latex] (período é '3') e [latex]3/7 = 0,428571428571...[/latex] (período é '428571'). Decimais finitos são um caso especial em que o período é '0'.

O teorema de Bézout é uma afirmação fundamental na teoria da intersecção. Ele afirma que o número de pontos de intersecção de duas curvas algébricas planas de graus [latex]m[/latex] e [latex]n[/latex] é exatamente [latex]mn[/latex], desde que se trabalhe em um plano projetivo sobre um corpo algebricamente fechado, se contem os pontos com multiplicidade e se incluam os pontos no infinito onde as assíntotas paralelas se encontram.

O teorema fundamental da álgebra afirma que todo polinômio não constante de uma única variável com coeficientes complexos possui pelo menos uma raiz complexa. Isso garante que o corpo dos números complexos é algebricamente fechado, o que significa que equações polinomiais que não podem ser resolvidas em números reais podem ser resolvidas em números complexos. Para um polinômio [latex]p(z) = a_n z^n + dots + a_1 z + a_0[/latex], existe um [latex]z_0 em mathbb{C}[/latex] tal que [latex]p(z_0) = 0[/latex].

A representação canônica, ou forma padrão, de um inteiro positivo [latex]n[/latex] é sua fatoração em primos única, escrita como um produto de potências de primos com os primos em ordem crescente. Para qualquer inteiro [latex]n > 1[/latex], ele pode ser escrito como [latex]n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} cdots p_k^{a_k}[/latex], onde [latex]p_1 < p_2 < cdots < p_k[/latex] são números primos e os expoentes [latex]a_i[/latex] são inteiros positivos.

Um teorema fundamental de existência e unicidade para equações diferenciais parciais associadas a problemas de valor inicial de Cauchy. Ele afirma que, se a EDP e as condições iniciais são 'analíticas' (podem ser representadas por séries de potências convergentes), então existe uma solução analítica única em uma vizinhança da superfície inicial. O teorema fornece uma garantia de existência local, mas não aborda o comportamento global ou a boa definição do problema.

Para um número primo [latex]p[/latex], os números p-ádicos formam uma extensão dos números racionais que é topologicamente diferente dos números reais. Enquanto os números reais são um completamento de [latex]mathbb{Q}[/latex] com respeito à métrica usual do valor absoluto, os números p-ádicos são o completamento de [latex]mathbb{Q}[/latex] com respeito à métrica p-ádica, onde os números são "pequenos" se forem divisíveis por uma potência alta de [latex]p[/latex].

Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como uma fração ou quociente [latex]p/q[/latex], onde [latex]p[/latex] é um número inteiro e [latex]q[/latex] é um número inteiro diferente de zero. O conjunto de todos os números racionais é denotado por [latex]mathbb{Q}[/latex]. Este conceito fundamental estende os números inteiros para incluir frações, permitindo a representação de partes de um todo.

Uma equação diferencial parcial (EDP) é uma equação que impõe relações entre as diversas derivadas parciais de uma função multivariável. A função é frequentemente chamada de incógnita, e uma EDP descreve uma relação entre essa função desconhecida e suas derivadas. Ao contrário das equações diferenciais ordinárias (EDOs), que envolvem funções de uma única variável, as EDPs são fundamentais para a modelagem de sistemas multidimensionais.

Uma técnica para resolver equações diferenciais parciais (EDP) de primeira ordem e de segunda ordem hiperbólica. O método reduz uma EDP a uma família de equações diferenciais ordinárias (EDOs) ao longo de curvas específicas chamadas 'características'. Ao longo dessas curvas, a EDP se simplifica, permitindo que a solução seja encontrada pela integração do sistema de EDOs. É particularmente eficaz para problemas envolvendo transporte e propagação de ondas.

Um corolário direto do teorema fundamental da álgebra é que qualquer polinômio não constante com coeficientes reais pode ser fatorado em um produto de fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis, todos com coeficientes reais. Os fatores lineares correspondem às raízes reais, enquanto os fatores quadráticos irredutíveis correspondem a pares de raízes complexas conjugadas [latex]a pm bi[/latex].

Um número transcendental é um número real ou complexo que não é algébrico, ou seja, não é raiz de nenhuma equação polinomial não nula com coeficientes inteiros (ou racionais). Todos os números transcendentais são irracionais, mas nem todos os números irracionais são transcendentais (por exemplo, √2 é irracional, mas algébrico, pois é raiz de x² - 2 = 0).

Apesar de ser denso, ou seja, entre quaisquer dois números racionais distintos existe outro, o conjunto de todos os números racionais [latex]mathbb{Q}[/latex] é enumerável e infinito. Isso significa que todos os números racionais podem ser colocados em uma correspondência biunívoca com os números naturais [latex]mathbb{N} = {1, 2, 3, ...}[/latex]. Esse resultado surpreendente demonstra que [latex]mathbb{Q}[/latex] tem a mesma cardinalidade que [latex]mathbb{N}[/latex] e [latex]mathbb{Z}[/latex].

O Teorema dos Zeros de Hilbert (Nullstellensatz, em alemão) estabelece uma correspondência fundamental entre geometria e álgebra. Ele afirma que, para um corpo algebricamente fechado [latex]k[/latex], se um polinômio [latex]p[/latex] se anula no conjunto de zeros de um ideal [latex]I[/latex], então alguma potência de [latex]p[/latex] deve pertencer a [latex]I[/latex]. Formalmente, [latex]I(V(I)) = sqrt{I}[/latex], o radical de [latex]I[/latex].

Uma variedade afim é o conjunto de pontos em um espaço afim cujas coordenadas são os zeros comuns de um conjunto finito de polinômios. Para um conjunto de polinômios [latex]S = {f_1, dots, f_k}[/latex] em um anel de polinômios [latex]k[x_1, dots, x_n][/latex], a variedade afim correspondente é [latex]V(S) = {x in k^n | f(x) = 0 text{ para todo } f in S}[/latex]. É um objeto central de estudo na geometria algébrica clássica.