अनंत अभाज्य संख्याएँ (यूक्लिड का प्रमाण)

परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे भिन्न या भागफल [latex]p/q[/latex] के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ [latex]p[/latex] एक पूर्णांक है और [latex]q[/latex] एक गैर-शून्य पूर्णांक है। सभी परिमेय संख्याओं के समुच्चय को [latex]mathbb{Q}[/latex] से दर्शाया जाता है। यह मूलभूत अवधारणा पूर्णांकों को भिन्नों तक विस्तारित करती है, जिससे किसी पूर्ण संख्या के भागों को निरूपित करना संभव हो जाता है।

आंशिक अवकल समीकरण (पीडीई) एक ऐसा समीकरण है जो बहुचर फलन के विभिन्न आंशिक अवकलों के बीच संबंध स्थापित करता है। इस फलन को अक्सर अज्ञात कहा जाता है, और पीडीई इस अज्ञात फलन और इसके अवकलों के बीच संबंध का वर्णन करता है। साधारण अवकल समीकरणों (ओडीई) के विपरीत, जिनमें एक चर के फलन शामिल होते हैं, पीडीई बहुआयामी प्रणालियों के प्रतिरूपण के लिए मूलभूत हैं।

प्रथम-कोटि और अतिपरवलयिक द्वितीय-कोटि आंशिक अवकल समीकरणों (पीडीई) को हल करने की एक तकनीक। यह विधि एक पीडीई को विशिष्ट वक्रों (जिन्हें 'विशेषताएँ' कहा जाता है) के अनुदिश साधारण अवकल समीकरणों (ओडीई) के एक समूह में परिवर्तित करती है। इन वक्रों के अनुदिश, पीडीई सरल हो जाता है, जिससे ओडीई के समूह को समाकलित करके हल प्राप्त किया जा सकता है। यह विधि परिवहन और तरंग प्रसार से संबंधित समस्याओं के लिए विशेष रूप से उपयोगी है।

बीजगणित के मूलभूत प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम यह है कि वास्तविक गुणांकों वाले किसी भी गैर-स्थिर बहुपद को रैखिक गुणनखंडों और अविभाज्य द्विघात गुणनखंडों के गुणनफल में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें सभी के गुणांक वास्तविक होते हैं। रैखिक गुणनखंड वास्तविक मूलों के अनुरूप होते हैं, जबकि अविभाज्य द्विघात गुणनखंड जटिल संयुग्मी मूलों के युग्मों [latex]a pm bi[/latex] के अनुरूप होते हैं।

एक पारलौकिक संख्या एक वास्तविक या जटिल संख्या होती है जो बीजीय नहीं होती, जिसका अर्थ है कि यह पूर्णांक (या परिमेय) गुणांक वाले किसी भी गैर-शून्य बहुपद समीकरण का मूल नहीं होती। सभी पारलौकिक संख्याएँ अपरिमेय होती हैं, लेकिन सभी अपरिमेय संख्याएँ पारलौकिक नहीं होतीं (उदाहरण के लिए, [latex]√2[/latex] अपरिमेय है लेकिन बीजीय है, क्योंकि यह [latex]x^2 - 2 = 0[/latex] का मूल है)।

सघन होने के बावजूद, जिसका अर्थ है कि किन्हीं भी दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच एक और संख्या विद्यमान होती है, सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय [latex]mathbb{Q}[/latex] गणनीय रूप से अनंत है। इसका अर्थ यह है कि सभी परिमेय संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं [latex]mathbb{N} = {1, 2, 3, ...}[/latex] के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। यह आश्चर्यजनक परिणाम दर्शाता है कि [latex]mathbb{Q}[/latex] की कार्डिनैलिटी [latex]mathbb{N}[/latex] और [latex]mathbb{Z}[/latex] के समान है।

संख्या सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह बताता है कि यदि कोई अभाज्य संख्या [latex]p[/latex] दो पूर्णांकों [latex]a[/latex] और [latex]b[/latex] के गुणनफल को विभाजित करती है, तो [latex]p[/latex] उन पूर्णांकों में से कम से कम एक को विभाजित अवश्य करेगी। अर्थात्, यदि [latex]p[/latex] | ab[/latex], तो [latex]p[/latex] | a[/latex] या [latex]p[/latex] | b[/latex] होगा। यह गुणधर्म अंकगणित के मूलभूत प्रमेय के विशिष्टता वाले भाग को सिद्ध करने के लिए आवश्यक है।

अपरिमेय संख्या कोई भी वास्तविक संख्या होती है जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात, p/q के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, जहाँ p एक पूर्णांक है और q एक गैर-शून्य पूर्णांक है। दूसरे शब्दों में, ये ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं जो परिमेय नहीं हैं। इनका दशमलव निरूपण कभी समाप्त नहीं होता और न ही कभी कोई स्थायी रूप से दोहराई जाने वाली आकृति बनाता है।

एक वास्तविक संख्या परिमेय होती है यदि और केवल यदि उसका दशमलव आवर्ती हो। इसका अर्थ है कि अंकों का क्रम अंततः एक सीमित अंकों के क्रम को अनिश्चित काल तक दोहराता रहता है। इस दोहराए जाने वाले भाग को पुनरावर्ती अंक कहते हैं। उदाहरण के लिए, [latex]1/3 = 0.333...[/latex] (पुनरावर्ती अंक '3' है) और [latex]3/7 = 0.428571428571...[/latex] (पुनरावर्ती अंक '428571' है)। शांत दशमलव एक विशेष स्थिति है जहाँ पुनरावर्ती अंक '0' होता है।

बेज़आउट का प्रमेय प्रतिच्छेदन सिद्धांत का एक मूलभूत कथन है। यह प्रतिपादित करता है कि [latex]m[/latex] और [latex]n[/latex] डिग्री के दो समतल बीजगणितीय वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या ठीक [latex]mn[/latex] होती है, बशर्ते कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रक्षेप्य समतल में कार्य किया जाए, बहुलता के साथ बिंदुओं की गणना की जाए, और अनंत पर उन बिंदुओं को शामिल किया जाए जहां समानांतर अनंतस्पर्शी मिलते हैं।

बीजगणित का मूलभूत प्रमेय यह बताता है कि जटिल गुणांकों वाले प्रत्येक गैर-स्थिर एकल-चर बहुपद का कम से कम एक जटिल मूल होता है। यह इस बात की गारंटी देता है कि जटिल संख्याओं का क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद है, जिसका अर्थ है कि वास्तविक संख्याओं में हल न किए जा सकने वाले बहुपद समीकरणों को जटिल संख्याओं में हल किया जा सकता है। एक बहुपद [latex]p(z) = a_n z^n + dots + a_1 z + a_0[/latex] के लिए, mathbb{C}[/latex] में एक [latex]z_0[/latex] मौजूद है जैसे कि [latex]p(z_0) = 0[/latex]।

यह प्रमेय बताता है कि 1 से बड़ी प्रत्येक पूर्णांक संख्या या तो अभाज्य संख्या होती है या उसे गुणनखंडों के क्रम की परवाह किए बिना, विशिष्ट रूप से अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में निरूपित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, [latex]1200 = 2^4 times 3^1 times 5^2[/latex]। यह विशिष्ट गुणनखंडन संख्या सिद्धांत का एक आधारशिला है, जो पूर्णांकों के लिए एक मूलभूत गुणात्मक संरचना प्रदान करता है।

किसी धनात्मक पूर्णांक n का मानक निरूपण, या मानक रूप, उसका अद्वितीय अभाज्य गुणनखंडन होता है, जिसे अभाज्य घातों के गुणनफल के रूप में लिखा जाता है, जिसमें अभाज्य संख्याएँ बढ़ते क्रम में होती हैं। किसी भी पूर्णांक n > 1 के लिए, इसे n = p₁₁₁₂₂₂₀ ...

कोशी प्रारंभिक मान समस्याओं से संबंधित आंशिक अवकल समीकरणों के लिए एक मूलभूत अस्तित्व और अद्वितीयता प्रमेय। यह कहता है कि यदि PDE और प्रारंभिक स्थितियाँ 'विश्लेषणात्मक' हैं (अभिसारी घात श्रृंखला द्वारा निरूपित की जा सकती हैं), तो प्रारंभिक सतह के पड़ोस में एक अद्वितीय विश्लेषणात्मक समाधान मौजूद होता है। यह एक स्थानीय अस्तित्व की गारंटी प्रदान करता है लेकिन वैश्विक व्यवहार या सुस्पष्टता को संबोधित नहीं करता है।