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यूक्लिड का लेम्मा

-300
  • Euclid of Alexandria
Stone tablet inscribed with Euclid's Lemma in ancient Greek, number theory concept.

(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)

A key result in number theory stating that if a prime number [latex]p[/latex] divides the product of two integers [latex]a[/latex] and [latex]b[/latex], then [latex]p[/latex] करना ही होगा divide at least one of those integers. That is, if [latex]p | ab[/latex], then [latex]p | a[/latex] or [latex]p | b[/latex]. This property is essential for proving the uniqueness part of the Fundamental अंकगणित का प्रमेय.

यूक्लिड का लेम्मा उनकी पुस्तक *एलिमेंट्स* के सातवें भाग में प्रस्ताव 30 है। इसका प्रमाण आमतौर पर एक अन्य मूलभूत परिणाम पर आधारित होता है। बेजौटबेजौट की सर्वसमिका के अनुसार, दो पूर्णांकों `a` और `b` का महत्तम सामान्य भाजक (GCD) किसी पूर्णांक `x` और `y` के लिए रैखिक संयोजन `ax + by` के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस सर्वसमिका का प्रमाण इस प्रकार है: मान लीजिए एक अभाज्य संख्या `p`, `ab` को विभाजित करती है। यदि `p`, `a` को विभाजित नहीं करता है, तो `p` और `a` सहअभाज्य हैं (उनका GCD 1 है), क्योंकि `p` के केवल दो ही भाजक हैं: 1 और `p`। बेजौट की सर्वसमिका के अनुसार, ऐसे पूर्णांक `x` और `y` मौजूद हैं कि `px + ay = 1`। इस संपूर्ण समीकरण को `b` से गुणा करने पर `pbx + aby = b` प्राप्त होता है। हम जानते हैं कि `p`, `pbx` को (सरलता से) विभाजित करता है और `p`, `aby` को विभाजित करता है (हमारी प्रारंभिक धारणा के अनुसार कि `p`, `ab` को विभाजित करता है)। इसलिए, `p` को उनके योग, जो कि `b` है, को विभाजित करना चाहिए। इससे प्रमाण पूरा होता है।

यह प्रमेय अभाज्य गुणनखंडों की विशिष्टता स्थापित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इसके बिना, एक ही संख्या के लिए अभाज्य गुणनखंडों के दो अलग-अलग समूह हो सकते हैं। यह प्रमेय सुनिश्चित करता है कि यदि कोई अभाज्य संख्या एक समूह में दिखाई देती है, तो वह एक ही संख्या के लिए दो अलग-अलग समूह का अभाज्य गुणनखंड बन सकती है। गुणनयह उसी संख्या के किसी अन्य गुणनखंड में भी प्रकट होना चाहिए। इस प्रमेय में वर्णित गुण का उपयोग अब अमूर्त बीजगणित और वलय सिद्धांत में "अभाज्य तत्व" की अधिक सामान्य अवधारणा को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जो इसे "अविभाज्य तत्व" से अलग करता है।

UNESCO Nomenclature: 1101
शुद्ध गणित

Type

सार प्रणाली

व्यवधान

मूलभूत

उपयोग

व्यापक उपयोग

शगुन

  • अभाज्य संख्याओं की अवधारणा
  • विभाज्यता की अवधारणा
  • सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिदम
  • बेजौट की पहचान (हालांकि अक्सर इसे साबित करने के लिए इसका इस्तेमाल किया जाता है, लेकिन ये अवधारणाएं आपस में गहराई से जुड़ी हुई हैं)

आवेदन

  • अभाज्य गुणनखंडन की विशिष्टता का प्रमाण
  • वलय सिद्धांत का विकास (अभाज्य तत्वों की परिभाषा)
  • रेखीय डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करना
  • मॉड्यूलर अंकगणितीय गणनाएँ

पेटेंट:

NA

संभावित नवाचार विचार

  • ए औपचारिक सत्यापन tool for software that uses Euclid’s lemma to check properties of integer arithmetic
  • नेटवर्क में संसाधनों के आवंटन को अनुकूलित करने के लिए एक एल्गोरिदम, जो निर्भरताओं को विभाज्यता गुणों के रूप में प्रतिरूपित करता है।
  • a cryptographic hash function where collisions are provably as hard as violating Euclid’s lemma in a specific finite field
  • a teaching module that uses interactive visualizations to explain the relationship between Bézout’s identity and Euclid’s lemma
  • बड़े डेटासेट में सूक्ष्म डेटा भ्रष्टाचार का पता लगाने की एक विधि, जिसमें अपेक्षित विभाज्यता नियमों के उल्लंघन की जाँच की जाती है।
  • अभाज्य विभाज्यता नियमों पर आधारित एक तर्क पहेली जनरेटर
  • ए संकलक optimization technique that simplifies integer expressions using prime properties derived from the lemma
  • एक वित्तीय मॉडलिंग उपकरण जो लेनदेन लॉग में धोखाधड़ी के पैटर्न का पता लगाने के लिए अभाज्य विभाज्यता का उपयोग करता है।
  • a theorem prover specialized for number theory that has Euclid’s lemma as a core axiom
  • अभाज्य विभाज्यता अनुक्रमों के आधार पर लंबी अवधि वाले छद्म-यादृच्छिक संख्याओं को उत्पन्न करने की एक विधि
Related to: Euclid’s lemma, prime number, divisibility, number theory, Bézout’s identity, coprime, greatest common divisor, fundamental अंकगणित का प्रमेय, Euclid’s Elements, proof.

ऐतिहासिक संदर्भ

यूक्लिड का लेम्मा

Stone tablet defining irrational numbers in pure mathematics and number theory.

तर्कहीन संख्या

अपरिमेय संख्या कोई भी वास्तविक संख्या होती है जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात, p/q के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, जहाँ p एक पूर्णांक है और q एक गैर-शून्य पूर्णांक है। दूसरे शब्दों में, ये ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं जो परिमेय नहीं हैं। इनका दशमलव निरूपण कभी समाप्त नहीं होता और न ही कभी कोई स्थायी रूप से दोहराई जाने वाली आकृति बनाता है।
Mathematician's desk with notes on decimal expansion of rational numbers, 16th century.

परिमेय संख्याओं का दशमलव विस्तार (आवर्ती)

एक वास्तविक संख्या परिमेय होती है यदि और केवल यदि उसका दशमलव आवर्ती हो। इसका अर्थ है कि अंकों का क्रम अंततः एक सीमित अंकों के क्रम को अनिश्चित काल तक दोहराता रहता है। इस दोहराए जाने वाले भाग को पुनरावर्ती अंक कहते हैं। उदाहरण के लिए, [latex]1/3 = 0.333...[/latex] (पुनरावर्ती अंक '3' है) और [latex]3/7 = 0.428571428571...[/latex] (पुनरावर्ती अंक '428571' है)। शांत दशमलव एक विशेष स्थिति है जहाँ पुनरावर्ती अंक '0' होता है।
Study room of Étienne Bézout showcasing Bézout's Theorem and algebraic curves.

बेजौट का प्रमेय

बेज़आउट का प्रमेय प्रतिच्छेदन सिद्धांत का एक मूलभूत कथन है। यह प्रतिपादित करता है कि [latex]m[/latex] और [latex]n[/latex] डिग्री के दो समतल बीजगणितीय वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या ठीक [latex]mn[/latex] होती है, बशर्ते कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रक्षेप्य समतल में कार्य किया जाए, बहुलता के साथ बिंदुओं की गणना की जाए, और अनंत पर उन बिंदुओं को शामिल किया जाए जहां समानांतर अनंतस्पर्शी मिलते हैं।
Historical study room with mathematicians discussing the Fundamental Theorem of Algebra.

बीजगणित का मूलभूत प्रमेय

बीजगणित का मूलभूत प्रमेय यह बताता है कि जटिल गुणांकों वाले प्रत्येक गैर-स्थिर एकल-चर बहुपद का कम से कम एक जटिल मूल होता है। यह इस बात की गारंटी देता है कि जटिल संख्याओं का क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद है, जिसका अर्थ है कि वास्तविक संख्याओं में हल न किए जा सकने वाले बहुपद समीकरणों को जटिल संख्याओं में हल किया जा सकता है। एक बहुपद [latex]p(z) = a_n z^n + dots + a_1 z + a_0[/latex] के लिए, mathbb{C}[/latex] में एक [latex]z_0[/latex] मौजूद है जैसे कि [latex]p(z_0) = 0[/latex]।
Study room with books and chalkboard illustrating the Fundamental Theorem of Arithmetic in number theory.

अंकगणित का मूलभूत प्रमेय

यह प्रमेय बताता है कि 1 से बड़ी प्रत्येक पूर्णांक संख्या या तो अभाज्य संख्या होती है या उसे गुणनखंडों के क्रम की परवाह किए बिना, विशिष्ट रूप से अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में निरूपित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, [latex]1200 = 2^4 times 3^1 times 5^2[/latex]। यह विशिष्ट गुणनखंडन संख्या सिद्धांत का एक आधारशिला है, जो पूर्णांकों के लिए एक मूलभूत गुणात्मक संरचना प्रदान करता है।
Desk of a 19th-century mathematician with prime factorization book and tools.

एक पूर्णांक का प्रामाणिक निरूपण

किसी धनात्मक पूर्णांक n का मानक निरूपण, या मानक रूप, उसका अद्वितीय अभाज्य गुणनखंडन होता है, जिसे अभाज्य घातों के गुणनफल के रूप में लिखा जाता है, जिसमें अभाज्य संख्याएँ बढ़ते क्रम में होती हैं। किसी भी पूर्णांक n > 1 के लिए, इसे n = p₁₁₁₂₂₂₀ ...
Study room of mathematicians Cauchy and Kovalevski with analysis books and equations.

कोशी-कोवालेव्स्की प्रमेय

कोशी प्रारंभिक मान समस्याओं से संबंधित आंशिक अवकल समीकरणों के लिए एक मूलभूत अस्तित्व और अद्वितीयता प्रमेय। यह कहता है कि यदि PDE और प्रारंभिक स्थितियाँ 'विश्लेषणात्मक' हैं (अभिसारी घात श्रृंखला द्वारा निरूपित की जा सकती हैं), तो प्रारंभिक सतह के पड़ोस में एक अद्वितीय विश्लेषणात्मक समाधान मौजूद होता है। यह एक स्थानीय अस्तित्व की गारंटी प्रदान करता है लेकिन वैश्विक व्यवहार या सुस्पष्टता को संबोधित नहीं करता है।
-300
-450
1585
1779
1799
1801
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1750
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1800
1844
1874
Euclid of Alexandria proving infinite primes in a classical study setting.

अनंत अभाज्य संख्याएँ (यूक्लिड का प्रमाण)

यूक्लिड के प्रमेय के अनुसार अनंत अभाज्य संख्याएँ होती हैं। इसका सर्वमान्य प्रमाण विरोधाभास द्वारा दिया जाता है। इसमें सभी अभाज्य संख्याओं की एक सीमित सूची [latex]p_1, p_2, dots, p_n[/latex] मानी जाती है। फिर यह संख्या [latex]P = p_1 p_2 cdots p_n + 1[/latex] पर विचार करता है। यह संख्या [latex]P[/latex] या तो अभाज्य है या नहीं। यदि यह अभाज्य है, तो यह सूची में मौजूद न होने वाली एक नई अभाज्य संख्या है।
Ancient scholar demonstrating rational numbers on a stone tablet in a historical classroom.

भिन्नात्मक संख्याएं

परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे भिन्न या भागफल [latex]p/q[/latex] के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ [latex]p[/latex] एक पूर्णांक है और [latex]q[/latex] एक गैर-शून्य पूर्णांक है। सभी परिमेय संख्याओं के समुच्चय को [latex]mathbb{Q}[/latex] से दर्शाया जाता है। यह मूलभूत अवधारणा पूर्णांकों को भिन्नों तक विस्तारित करती है, जिससे किसी पूर्ण संख्या के भागों को निरूपित करना संभव हो जाता है।
Historical discussion on partial differential equations by mathematicians in an office.

आंशिक अवकल समीकरण (पीडीई)

आंशिक अवकल समीकरण (पीडीई) एक ऐसा समीकरण है जो बहुचर फलन के विभिन्न आंशिक अवकलों के बीच संबंध स्थापित करता है। इस फलन को अक्सर अज्ञात कहा जाता है, और पीडीई इस अज्ञात फलन और इसके अवकलों के बीच संबंध का वर्णन करता है। साधारण अवकल समीकरणों (ओडीई) के विपरीत, जिनमें एक चर के फलन शामिल होते हैं, पीडीई बहुआयामी प्रणालियों के प्रतिरूपण के लिए मूलभूत हैं।
Historical analysis of Method of Characteristics by Lagrange and Monge in a scholarly setting.

विशेषता विधि (गणित)

प्रथम-कोटि और अतिपरवलयिक द्वितीय-कोटि आंशिक अवकल समीकरणों (पीडीई) को हल करने की एक तकनीक। यह विधि एक पीडीई को विशिष्ट वक्रों (जिन्हें 'विशेषताएँ' कहा जाता है) के अनुदिश साधारण अवकल समीकरणों (ओडीई) के एक समूह में परिवर्तित करती है। इन वक्रों के अनुदिश, पीडीई सरल हो जाता है, जिससे ओडीई के समूह को समाकलित करके हल प्राप्त किया जा सकता है। यह विधि परिवहन और तरंग प्रसार से संबंधित समस्याओं के लिए विशेष रूप से उपयोगी है।
Mathematician working on factorization of real polynomials in a historical classroom.

वास्तविक बहुपदों का गुणनखंडन

बीजगणित के मूलभूत प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम यह है कि वास्तविक गुणांकों वाले किसी भी गैर-स्थिर बहुपद को रैखिक गुणनखंडों और अविभाज्य द्विघात गुणनखंडों के गुणनफल में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें सभी के गुणांक वास्तविक होते हैं। रैखिक गुणनखंड वास्तविक मूलों के अनुरूप होते हैं, जबकि अविभाज्य द्विघात गुणनखंड जटिल संयुग्मी मूलों के युग्मों [latex]a pm bi[/latex] के अनुरूप होते हैं।
Mathematician studying transcendental numbers in a historical study.

पारलौकिक संख्याएँ

एक पारलौकिक संख्या एक वास्तविक या जटिल संख्या होती है जो बीजीय नहीं होती, जिसका अर्थ है कि यह पूर्णांक (या परिमेय) गुणांक वाले किसी भी गैर-शून्य बहुपद समीकरण का मूल नहीं होती। सभी पारलौकिक संख्याएँ अपरिमेय होती हैं, लेकिन सभी अपरिमेय संख्याएँ पारलौकिक नहीं होतीं (उदाहरण के लिए, [latex]√2[/latex] अपरिमेय है लेकिन बीजीय है, क्योंकि यह [latex]x^2 - 2 = 0[/latex] का मूल है)।
19th-century mathematician studying countability of rational numbers in an office.

परिमेय संख्याओं की गणनीयता

सघन होने के बावजूद, जिसका अर्थ है कि किन्हीं भी दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच एक और संख्या विद्यमान होती है, सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय [latex]mathbb{Q}[/latex] गणनीय रूप से अनंत है। इसका अर्थ यह है कि सभी परिमेय संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं [latex]mathbb{N} = {1, 2, 3, ...}[/latex] के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। यह आश्चर्यजनक परिणाम दर्शाता है कि [latex]mathbb{Q}[/latex] की कार्डिनैलिटी [latex]mathbb{N}[/latex] और [latex]mathbb{Z}[/latex] के समान है।

(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)

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