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पारलौकिक संख्याएँ

1844
  • Joseph Liouville
Mathematician studying transcendental numbers in a historical study.

(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)

एक पारलौकिक संख्या एक वास्तविक या जटिल संख्या होती है जो बीजीय नहीं होती, जिसका अर्थ है कि यह पूर्णांक (या परिमेय) गुणांक वाले किसी भी गैर-शून्य बहुपद समीकरण का मूल नहीं होती। सभी पारलौकिक संख्याएँ बीजीय होती हैं। तर्कहीनलेकिन सभी अपरिमेय संख्याएँ पारलौकिक नहीं होतीं (उदाहरण के लिए, [latex]sqrt{2}[/latex] अपरिमेय है लेकिन बीजगणितीय है, क्योंकि यह [latex]x^2 – 2 = 0[/latex] का एक मूल है)।

The concept of transcendental numbers distinguishes a special class within the irrationals. While algebraic numbers are roots of polynomials with integer coefficients, transcendental numbers “transcend” this algebraic description. Joseph Liouville was the first to prove the existence of such numbers in 1844 by constructing a specific class of numbers, now called Liouville numbers, and showing they could not be algebraic. A famous example of a Liouville number is [latex]\sum_{k=1}^{\infty} 10^{-k!} = 0.11000100…[/latex].

किसी विशिष्ट संख्या को पारलौकिक सिद्ध करना अक्सर अत्यंत कठिन होता है। चार्ल्स हर्मिट ने सर्वप्रथम 1873 में सिद्ध किया कि *e* (यूलर की संख्या) पारलौकिक है। बाद में, 1882 में, फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन ने सिद्ध किया कि [latex]pi[/latex] पारलौकिक है। लिंडमैन-वीयरस्ट्रास प्रमेय इस परिणाम को सामान्यीकृत करता है, जिसमें कहा गया है कि यदि [latex]alpha_1, …, alpha_n[/latex] भिन्न-भिन्न बीजीय संख्याएँ हैं, तो [latex]e^{alpha_1}, …, e^{alpha_n}[/latex] बीजीय संख्याओं पर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। [latex]pi[/latex] के लिए लिंडमैन के प्रमाण ने अंततः "वृत्त का वर्ग" की प्राचीन समस्या का समाधान कर दिया। कम्पास और स्केल के साथ, यह साबित करना असंभव है क्योंकि इसके लिए [latex]sqrt{pi}[/latex] की लंबाई का निर्माण करना होगा, जो कि पारलौकिक भी है और इस प्रकार निर्माण योग्य नहीं है।

UNESCO Nomenclature: 1101
शुद्ध गणित

Type

सार प्रणाली

व्यवधान

संतोषजनक

उपयोग

व्यापक उपयोग

शगुन

  • बहुपद बीजगणित का विकास
  • यूलर और गॉस द्वारा बीजीय संख्याओं की अवधारणा
  • *e* और [latex]pi[/latex] की अपरिमेयता का प्रमाण
  • सतत भिन्नों पर काम करें

आवेदन

  • वृत्त को वर्ग में बदलना (इसकी असंभवता सिद्ध करना)
  • डायोफैंटाइन सन्निकटन
  • संख्या सिद्धांत अनुसंधान
  • गणित की बुनियाद

पेटेंट:

NA

संभावित नवाचार विचार

  • डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने के लिए पारलौकिक संख्या सिद्धांत में नई तकनीकों का विकास।
  • algorithms for computing digits of [latex]\pi[/latex] and *e* to extreme precision
  • क्वांटम भौतिकी में सैद्धांतिक मॉडल जिनमें पारलौकिक स्थिरांक शामिल हैं
  • उन्नत क्रिप्टोग्राफिक प्रोटोकॉल जिनकी सुरक्षा पारलौकिक संख्याओं के गुणों पर निर्भर करती है
  • पारलौकिक संख्या अंकों की पुनरावृत्ति न होने की प्रकृति पर आधारित औपचारिक भाषा सिद्धांत अनुप्रयोग
  • यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करने के लिए नए दृष्टिकोण
  • गतिशील प्रणालियों का विश्लेषण और अराजकता सिद्धांत
  • creation of mathematical art and music based on the digit sequences of [latex]\pi[/latex] or *e*
  • investigation into the algebraic independence of numbers like [latex]\pi[/latex] and *e*
  • गणित में स्वचालित प्रमाण सहायकों के लिए उपकरण
संबंधित विषय: पारलौकिक संख्या, बीजीय संख्या, बहुपद, पूर्णांक गुणांक, पाई, ई, लिउविल संख्या, संख्या सिद्धांत अपरिमेय संख्यावृत्त को वर्ग में बदलना।

ऐतिहासिक संदर्भ

Historical discussion on partial differential equations by mathematicians in an office.

आंशिक अवकल समीकरण (पीडीई)

आंशिक अवकल समीकरण (पीडीई) एक ऐसा समीकरण है जो बहुचर फलन के विभिन्न आंशिक अवकलों के बीच संबंध स्थापित करता है। इस फलन को अक्सर अज्ञात कहा जाता है, और पीडीई इस अज्ञात फलन और इसके अवकलों के बीच संबंध का वर्णन करता है। साधारण अवकल समीकरणों (ओडीई) के विपरीत, जिनमें एक चर के फलन शामिल होते हैं, पीडीई बहुआयामी प्रणालियों के प्रतिरूपण के लिए मूलभूत हैं।
Historical analysis of Method of Characteristics by Lagrange and Monge in a scholarly setting.

विशेषता विधि (गणित)

प्रथम-कोटि और अतिपरवलयिक द्वितीय-कोटि आंशिक अवकल समीकरणों (पीडीई) को हल करने की एक तकनीक। यह विधि एक पीडीई को विशिष्ट वक्रों (जिन्हें 'विशेषताएँ' कहा जाता है) के अनुदिश साधारण अवकल समीकरणों (ओडीई) के एक समूह में परिवर्तित करती है। इन वक्रों के अनुदिश, पीडीई सरल हो जाता है, जिससे ओडीई के समूह को समाकलित करके हल प्राप्त किया जा सकता है। यह विधि परिवहन और तरंग प्रसार से संबंधित समस्याओं के लिए विशेष रूप से उपयोगी है।
Mathematician working on factorization of real polynomials in a historical classroom.

वास्तविक बहुपदों का गुणनखंडन

बीजगणित के मूलभूत प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम यह है कि वास्तविक गुणांकों वाले किसी भी गैर-स्थिर बहुपद को रैखिक गुणनखंडों और अविभाज्य द्विघात गुणनखंडों के गुणनफल में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें सभी के गुणांक वास्तविक होते हैं। रैखिक गुणनखंड वास्तविक मूलों के अनुरूप होते हैं, जबकि अविभाज्य द्विघात गुणनखंड जटिल संयुग्मी मूलों के युग्मों [latex]a pm bi[/latex] के अनुरूप होते हैं।

पारलौकिक संख्याएँ

19th-century mathematician studying countability of rational numbers in an office.

परिमेय संख्याओं की गणनीयता

सघन होने के बावजूद, जिसका अर्थ है कि किन्हीं भी दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच एक और संख्या विद्यमान होती है, सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय [latex]mathbb{Q}[/latex] गणनीय रूप से अनंत है। इसका अर्थ यह है कि सभी परिमेय संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं [latex]mathbb{N} = {1, 2, 3, ...}[/latex] के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। यह आश्चर्यजनक परिणाम दर्शाता है कि [latex]mathbb{Q}[/latex] की कार्डिनैलिटी [latex]mathbb{N}[/latex] और [latex]mathbb{Z}[/latex] के समान है।
19th-century mathematician deriving Hilbert's Nullstellensatz in an academic setting.

हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसत्ज़ ("शून्य का प्रमेय")

हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसैट्ज़ (जर्मन में "शून्य का प्रमेय") ज्यामिति और बीजगणित के बीच एक मूलभूत संबंध स्थापित करता है। यह बताता है कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र k के लिए, यदि एक बहुपद p किसी आदर्श I के शून्य-सेट पर शून्य हो जाता है, तो p की कोई घात I से संबंधित होनी चाहिए। औपचारिक रूप से, I(V(I)) = √I, जो I का मूल है।
Mathematician analyzing polynomials related to affine varieties in an office.

एफाइन वैरायटी

एक एफाइन वैरायटी, एफाइन स्पेस में स्थित उन बिंदुओं का समूह है जिनके निर्देशांक, परिमित बहुपदों के समूह के उभयनिष्ठ शून्य होते हैं। बहुपदों के समूह [latex]S = {f_1, dots, f_k}[/latex] के लिए, जो एक बहुपद वलय [latex]k[x_1, dots, x_n][/latex] में स्थित है, संगत एफाइन वैरायटी [latex]V(S) = {x in k^n | f(x) = 0 text{ for all } f in S}[/latex] है। यह शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति में अध्ययन का एक प्रमुख विषय है।
1750
1790
1800
1844
1874
1893
1900
1585
1779
1799
1801
1850
1875
1897
1950
Mathematician's desk with notes on decimal expansion of rational numbers, 16th century.

परिमेय संख्याओं का दशमलव विस्तार (आवर्ती)

एक वास्तविक संख्या परिमेय होती है यदि और केवल यदि उसका दशमलव आवर्ती हो। इसका अर्थ है कि अंकों का क्रम अंततः एक सीमित अंकों के क्रम को अनिश्चित काल तक दोहराता रहता है। इस दोहराए जाने वाले भाग को पुनरावर्ती अंक कहते हैं। उदाहरण के लिए, [latex]1/3 = 0.333...[/latex] (पुनरावर्ती अंक '3' है) और [latex]3/7 = 0.428571428571...[/latex] (पुनरावर्ती अंक '428571' है)। शांत दशमलव एक विशेष स्थिति है जहाँ पुनरावर्ती अंक '0' होता है।
Study room of Étienne Bézout showcasing Bézout's Theorem and algebraic curves.

बेजौट का प्रमेय

बेज़आउट का प्रमेय प्रतिच्छेदन सिद्धांत का एक मूलभूत कथन है। यह प्रतिपादित करता है कि [latex]m[/latex] और [latex]n[/latex] डिग्री के दो समतल बीजगणितीय वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या ठीक [latex]mn[/latex] होती है, बशर्ते कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रक्षेप्य समतल में कार्य किया जाए, बहुलता के साथ बिंदुओं की गणना की जाए, और अनंत पर उन बिंदुओं को शामिल किया जाए जहां समानांतर अनंतस्पर्शी मिलते हैं।
Historical study room with mathematicians discussing the Fundamental Theorem of Algebra.

बीजगणित का मूलभूत प्रमेय

बीजगणित का मूलभूत प्रमेय यह बताता है कि जटिल गुणांकों वाले प्रत्येक गैर-स्थिर एकल-चर बहुपद का कम से कम एक जटिल मूल होता है। यह इस बात की गारंटी देता है कि जटिल संख्याओं का क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद है, जिसका अर्थ है कि वास्तविक संख्याओं में हल न किए जा सकने वाले बहुपद समीकरणों को जटिल संख्याओं में हल किया जा सकता है। एक बहुपद [latex]p(z) = a_n z^n + dots + a_1 z + a_0[/latex] के लिए, mathbb{C}[/latex] में एक [latex]z_0[/latex] मौजूद है जैसे कि [latex]p(z_0) = 0[/latex]।
Study room with books and chalkboard illustrating the Fundamental Theorem of Arithmetic in number theory.

अंकगणित का मूलभूत प्रमेय

यह प्रमेय बताता है कि 1 से बड़ी प्रत्येक पूर्णांक संख्या या तो अभाज्य संख्या होती है या उसे गुणनखंडों के क्रम की परवाह किए बिना, विशिष्ट रूप से अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में निरूपित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, [latex]1200 = 2^4 times 3^1 times 5^2[/latex]। यह विशिष्ट गुणनखंडन संख्या सिद्धांत का एक आधारशिला है, जो पूर्णांकों के लिए एक मूलभूत गुणात्मक संरचना प्रदान करता है।
Desk of a 19th-century mathematician with prime factorization book and tools.

एक पूर्णांक का प्रामाणिक निरूपण

किसी धनात्मक पूर्णांक n का मानक निरूपण, या मानक रूप, उसका अद्वितीय अभाज्य गुणनखंडन होता है, जिसे अभाज्य घातों के गुणनफल के रूप में लिखा जाता है, जिसमें अभाज्य संख्याएँ बढ़ते क्रम में होती हैं। किसी भी पूर्णांक n > 1 के लिए, इसे n = p₁₁₁₂₂₂₀ ...
Study room of mathematicians Cauchy and Kovalevski with analysis books and equations.

कोशी-कोवालेव्स्की प्रमेय

कोशी प्रारंभिक मान समस्याओं से संबंधित आंशिक अवकल समीकरणों के लिए एक मूलभूत अस्तित्व और अद्वितीयता प्रमेय। यह कहता है कि यदि PDE और प्रारंभिक स्थितियाँ 'विश्लेषणात्मक' हैं (अभिसारी घात श्रृंखला द्वारा निरूपित की जा सकती हैं), तो प्रारंभिक सतह के पड़ोस में एक अद्वितीय विश्लेषणात्मक समाधान मौजूद होता है। यह एक स्थानीय अस्तित्व की गारंटी प्रदान करता है लेकिन वैश्विक व्यवहार या सुस्पष्टता को संबोधित नहीं करता है।
19th century study room of Kurt Hensel focused on p-adic numbers and number theory.

पी-एडिक संख्याएँ

किसी अभाज्य संख्या p के लिए, p-एडिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं का एक विस्तार बनाती हैं जो वास्तविक संख्याओं से टोपोलॉजिकली भिन्न होती हैं। जहाँ वास्तविक संख्याएँ सामान्य निरपेक्ष मान मीट्रिक के संबंध में Q का पूर्णीकरण हैं, वहीं p-एडिक संख्याएँ p-एडिक मीट्रिक के संबंध में Q का पूर्णीकरण हैं, जहाँ संख्याएँ "छोटी" कहलाती हैं यदि वे p की उच्च घात से विभाज्य हों।
Mathematician's workspace focused on sheaf cohomology with textbooks and notes.

शीफ कोहोमोलॉगी

शीफ कोहोमोलॉगी आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति में ज्यामितीय स्थानों के वैश्विक गुणों के अध्ययन के लिए एक केंद्रीय उपकरण है। किसी स्थान X पर स्थित शीफ F के लिए, कोहोमोलॉगी समूह H^i(X, F) सदिश स्थान होते हैं जिनकी विमाएँ महत्वपूर्ण अपरिवर्तनीयताएँ प्रदान करती हैं। समूह H^0 वैश्विक अनुभागों का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि i > 0 के लिए उच्च समूह H^i स्थानीय अनुभागों को एक वैश्विक अनुभाग में संयोजित करने में आने वाली बाधाओं को मापते हैं।

(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)

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