(यह छवि केवल उदाहरण के लिए बनाई गई है)
यह प्रमेय बताता है कि 1 से बड़ा प्रत्येक पूर्णांक या तो एक अभाज्य संख्या है या उसे गुणनखंडों के क्रम की परवाह किए बिना, अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में विशिष्ट रूप से निरूपित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, [latex]1200 = 2^4 times 3^1 times 5^2[/latex]। यह विशिष्ट रूप से निरूपित किया जा सकता है। गुणन यह संख्या सिद्धांत का एक आधारशिला है, जो पूर्णांकों के लिए एक मौलिक गुणात्मक संरचना प्रदान करता है।
The Fundamental Theorem of Arithmetic, also called the unique गुणन theorem, consists of two main assertions for any integer [latex]n > 1[/latex]: first, that [latex]n[/latex] can be written as a product of prime numbers (the existence part), and second, that this product is unique, apart from the order of the factors (the uniqueness part). The existence of a prime factorization is typically proven using strong induction. The base case is that 2 is prime. For the inductive step, assume every integer up to [latex]k[/latex] has a prime factorization. For [latex]k+1[/latex], it is either prime (and we are done) or composite. If it is composite, it can be written as a product of two smaller integers, [latex]a \times b[/latex]. By the induction hypothesis, both [latex]a[/latex] and [latex]b[/latex] have prime factorizations, and their product gives a prime factorization for [latex]k+1[/latex].
अद्वितीयता का भाग अधिक सूक्ष्म है और यूक्लिड के प्रमेय पर महत्वपूर्ण रूप से निर्भर करता है, जो कहता है कि यदि एक अभाज्य संख्या p किसी गुणनफल ab को विभाजित करती है, तो p को या तो a या b को विभाजित करना ही चाहिए। अद्वितीयता सिद्ध करने के लिए, मान लीजिए कि एक पूर्णांक n के दो भिन्न अभाज्य गुणनखंड हैं: n = p₁, p₂ + q₁, q₂ + q₂ + q₂। अभाज्य संख्या p₁ बाएँ पक्ष को विभाजित करती है, इसलिए इसे दाएँ पक्ष को भी विभाजित करना चाहिए। यूक्लिड के प्रमेय के अनुसार, p₁ को q₁j में से किसी एक को विभाजित करना ही चाहिए। चूंकि सभी q_j अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए p_1 किसी q_j के बराबर होना चाहिए। हम इन पदों को दोनों पक्षों से हटाकर प्रक्रिया को दोहरा सकते हैं, जिससे अंततः यह सिद्ध हो जाता है कि दोनों गुणनखंड समान होने चाहिए। इस प्रमेय के कुछ अंश यूक्लिड की रचना *एलिमेंट्स* (लगभग 300 ईसा पूर्व) में मिलते हैं, लेकिन कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने 1801 में अपनी रचना *डिस्क्विशन्स एरिथमेटिका* में इसका पहला स्पष्ट कथन और सटीक प्रमाण प्रस्तुत किया, जिससे संख्या सिद्धांत में इसकी मूलभूत भूमिका स्थापित हुई।
अंकगणित का मूलभूत प्रमेय
(यदि तिथि अज्ञात है या प्रासंगिक नहीं है, उदाहरण के लिए "द्रव यांत्रिकी", तो इसके उल्लेखनीय उद्भव का एक अनुमानित आंकड़ा प्रदान किया गया है)
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