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Verallgemeinertes Hooke'sches Gesetz

1678
  • Robert Hooke
  • Thomas Young
  • Augustin-Louis Cauchy
17th-century laboratory with tools for tensile testing and equations of Generalized Hooke's Law.

(Abbildung dient nur zur Veranschaulichung)

Das verallgemeinerte Hooke'sche Gesetz ist die konstitutive Gleichung für linear-elastische Materialien, die besagt, dass die Stress tensor is linearly proportional to the Stamm tensor. The relationship is expressed as [latex]\sigma = C : \varepsilon[/latex], where [latex]\sigma[/latex] is the stress tensor, [latex]\varepsilon[/latex] is the strain tensor, and [latex]C[/latex] is the fourth-order stiffness tensor containing the material’s elastic constants.

Während das ursprüngliche Gesetz von Robert Hooke aus dem Jahr 1678 (“ut tensio, sic vis” - wie die Ausdehnung, so die Kraft) eine einfache eindimensionale lineare Beziehung beschreibt, erweitert das verallgemeinerte Hooke'sche Gesetz dieses Prinzip auf drei Dimensionen. Es bildet die mathematische Grundlage der Theorie der linearen Elastizität. Die Beziehung verbindet die sechs unabhängigen Komponenten des Spannungstensors mit den sechs unabhängigen Komponenten des infinitesimalen Dehnungstensors. Dies wird durch den Steifigkeitstensor [latex]C_{ijkl}[/latex] erreicht, einen Tensor vierter Ordnung, der in seiner allgemeinsten Form 81 Komponenten enthält.

Aufgrund der Symmetrie der Spannungs- und Dehnungstensoren reduziert sich die Anzahl der unabhängigen Komponenten im Steifigkeitstensor auf 36. Unter der Annahme, dass es eine Dehnungsenergiedichtefunktion gibt, wird der Steifigkeitstensor selbst symmetrisch ([latex]C_{ijkl} = C_{klij}[/latex]), wodurch sich die Zahl der unabhängigen elastischen Konstanten für das allgemeinste anisotrope Material auf 21 verringert. Für Materialien mit höheren Symmetriegraden wird diese Zahl weiter reduziert. Für ein isotropes Material, das in allen Richtungen die gleichen Eigenschaften aufweist, werden nur zwei unabhängige elastische Konstanten benötigt, wie der Elastizitätsmodul (E) und die Poissonzahl (ν). In diesem allgemeinen Fall vereinfacht sich das Gesetz erheblich und ermöglicht die direkte Berechnung von Spannungen aus Dehnungen und umgekehrt. Dieses Gesetz gilt nur innerhalb der Elastizitätsgrenze des Materials; jenseits dieses Punktes kommt es zu einer dauerhaften plastischen Verformung, und es werden andere konstitutive Modelle benötigt.

UNESCO Nomenclature: 2208
- Mechanik

Typ

Physikalisches Gesetz

Störung

Grundlegendes

Verwendung

Weitverbreitete Verwendung

Vorläufer

  • Beobachtungen zu den elastischen Eigenschaften von Materialien
  • Entwicklung der Konzepte von Stress und Beanspruchung
  • Die Newtonschen Gesetze der Bewegung

Anwendungen

  • Software zur Finite-Elemente-Analyse (FEA) für die Strukturkonstruktion
  • Entwurf von Federn, Balken und anderen elastischen Komponenten
  • Materialcharakterisierung durch Zugversuche
  • Seismologie zur Modellierung der Ausbreitung elastischer Wellen durch die Erde

Patente:

NA

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Verwandt mit: Hooke'sches Gesetz, lineare Elastizität, konstitutive Gleichung, Spannungs-Dehnungs-Beziehung, Steifigkeitstensor, Elastizitätsmodul, Poisson-Zahl, isotropes Material.

Historischer Kontext

Verallgemeinertes Hooke'sches Gesetz

1600
1650
1650
1678
1687
1687
1738
1750
1650
1650
1672
1687
1687
1738
1750

(wenn das Datum unbekannt oder nicht relevant ist, z. B. „Strömungsmechanik“, wird eine gerundete Schätzung seines bemerkenswerten Auftretens bereitgestellt)

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