Legge di Hooke generalizzata
1678
- Robert Hooke
- Thomas Young
- Augustin-Louis Cauchy
La legge generalizzata di Hooke è la equazione costitutiva per materiali elastici lineari, affermando che il stress tensor is linearly proportional to the ceppo tensor. The relationship is expressed as [latex]\sigma = C : \varepsilon[/latex], where [latex]\sigma[/latex] is the stress tensor, [latex]\varepsilon[/latex] is the strain tensor, and [latex]C[/latex] is the fourth-order stiffness tensor containing the material’s elastic constants.
Mentre la legge originale di Robert Hooke del 1678 ("ut tensio, sic vis" - come l'estensione, così la forza) descriveva una semplice relazione lineare unidimensionale, la legge generalizzata di Hooke estende questo principio a tre dimensioni. Essa costituisce il fondamento matematico della teoria dell'elasticità lineare. La relazione collega le sei componenti indipendenti del tensore di sforzo alle sei componenti indipendenti del tensore di deformazione infinitesimale. Ciò si ottiene attraverso il tensore di rigidità [latex]C_{ijkl}[/latex], un tensore di quarto ordine che contiene 81 componenti nella sua forma più generale.
Grazie alla simmetria dei tensori di sforzo e deformazione, il numero di componenti indipendenti nel tensore di rigidezza si riduce a 36. Inoltre, ipotizzando l'esistenza di una funzione di densità di energia di deformazione, il tensore di rigidezza stesso diventa simmetrico ([latex]C_{ijkl} = C_{klij}[/latex]), riducendo il numero di costanti elastiche indipendenti a 21 per il materiale anisotropo più generale. Per materiali con gradi di simmetria più elevati, questo numero si riduce ulteriormente. Per un materiale isotropo, che ha le stesse proprietà in tutte le direzioni, sono necessarie solo due costanti elastiche indipendenti, come il modulo di Young (E) e il coefficiente di Poisson (ν). In questo caso comune, la legge si semplifica notevolmente, consentendo il calcolo diretto degli sforzi a partire dalle deformazioni e viceversa. Questa legge è valida solo entro il limite elastico del materiale; oltre questo punto, si verifica una deformazione plastica permanente e sono necessari altri modelli costitutivi.
UNESCO Nomenclature: 2208
- Meccanica
Precursori
- Osservazioni sulle proprietà elastiche dei materiali
- Sviluppo dei concetti di stress e deformazione
- Le leggi del moto di Newton
Applicazioni
- software di analisi degli elementi finiti (FEA) per la progettazione strutturale
- progettazione di molle, travi e altri componenti elastici
- caratterizzazione dei materiali tramite prove di trazione
- sismologia per modellare la propagazione delle onde elastiche attraverso la Terra
Idee e potenziali innovazioni
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Argomenti correlati: legge di Hooke, elasticità lineare, equazione costitutiva, relazione sforzo-deformazione, tensore di rigidezza, modulo di Young, coefficiente di Poisson, materiale isotropico.